ബീജഗണിതത്തിന്റെ പിതാവാരാണ്?

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ പിതാവ് 'റെനെ ഡെക്കാര്‍ത്തെ', ജ്യാമിതിയുടെ പിതാവ് 'യൂക്ളിഡ്', എന്നാല്‍ ബീജഗണിതത്തിന്റെ പിതാവാരാണ്?
എട്ടാം ക്ലാസ്സിലെ ഈ ടേമിലെ അവസാന അദ്ധ്യായം 'ബീജഗണിതം'('Algebra') ആണല്ലോ? ഇത്തരുണത്തില്‍ 'ബീജഗണിതത്തിന്റെ പിതാവെ'ന്നറിയപ്പെടുന്ന (The Father of Algebra) അല്‍-ഖവാരിസ്മി എന്ന അറബിഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനെക്കുറിച്ചാകട്ടെ ഒരല്പം വിവരങ്ങള്‍....

'അബു ജാഫര്‍ മുഹമ്മദ് ഇബ്​നു മൂസാ അല്‍-ഖവാരിസ്മി' (Aboo Jaffar Muhammed Ibn Moosa Al-Khavarizmi )ബാഗ്ദാദില്‍ ഒന്‍പതാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ തുടക്കത്തില്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതിഭയായിരുന്നു.ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ ജനനം AD 786 ലാണെന്നാണ് കരുതപ്പെടുന്നത്. അല്‍ഗോരിതം എന്ന വാക്കുണ്ടായതുതന്നെ അദ്ദേഹത്തിന്റെ പേരില്‍ നിന്നാണ്.

അബ്ബാസിയ്യ ഖലീഫമാരുടെ ആ കാലഘട്ടം അറബിക് ശാസ്ത്രത്തിന്റേയും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റേയും സുവര്‍ണ്ണകാലമായിട്ടാണ് അറിയപ്പെടുന്നത്. തന്റെ പിതാവായ ഹാറൂണ്‍ അല്‍ റഷീദിന്റെ പാത പീന്‍തുടര്‍ന്ന് ഖലീഫ അല്‍-മാമൂന്‍ (AD 813-AD 833),ബാഗ്ദാദിലെ പണ്ഠിതസദസ്സിനെ (House of Wisdom) ഇന്തോ-ഗ്രീക്ക് പുരാതന ഗണിത ചിന്തകളുടെ ചര്‍ച്ചാവേദിയാക്കി മാറ്റി. അല്‍-ഖവാരിസ്മിയും അദ്ദേഹത്തിന്റെ സഹപണ്ഠിതരും ഖലീഫയുടെ ആശീര്‍വാദത്തോടെ ഇന്തോ-ഗ്രീക്ക് ഗ്രന്ഥങ്ങളുടെ വിവര്‍ത്തനങ്ങളിലും ഗണിതപഠനങ്ങളിലും മുഴുകി.'ഹിസാബ് അല്‍ ജബര്‍ വല്‍ മുഖബ്ബല' (The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing) എന്ന അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ കൃതിയുടെ പേരില്‍ നിന്നാണ് 'ആല്‍ജിബ്ര' (Algebra)എന്ന പേര്‍ വന്നതുതന്നെ! അല്‍ ജബര്‍ എന്നതിനര്‍ഥം 'പൂര്‍ണ്ണത' (Completion)
എന്നും മുഖബ്ബല എന്നാല്‍ 'തുലനം' (Balancing) എന്നുമാണര്‍ഥം. ഈ വിഷയസംബന്ധമായി ആദ്യമായെഴുതപ്പെട്ട പൂര്‍ണ്ണഗ്രന്ഥമായാണിത് കണക്കാക്കപ്പെടുന്നത്. അതിനാലാകണം അദ്ദേഹം 'ബീജഗണിതത്തിന്റെ പിതാവ്' (The Father of Algebra)എന്നറിയപ്പെടുന്നത്.

പ്രായോഗിക ഗണിതത്തിന്റെ വിവരണങ്ങളുള്‍ക്കൊള്ളുന്ന ഈ പുസ്തകത്തില്‍ ഒന്നും രണ്ടും കൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ നിര്‍ദ്ധാരണങ്ങളില്‍ തുടങ്ങി പ്രായോഗീക പ്രശ്നങ്ങളുടെ നിര്‍ദ്ധാരണങ്ങളിലേക്കെത്തുന്ന ഒരു രീതിയാണ് സ്വീകരിച്ചിട്ടുള്ളത്.
ഖവാരിസ്മിയുടെ പുസ്തകങ്ങളിലൊന്നും തന്നെ ഗണിതചിഹ്നങ്ങളോ (Symbols)ചരങ്ങളോ (Variables)ഉപയോഗിച്ചിട്ടില്ലെന്നതാണ് ഏറെ ആശ്ചര്യകരം!

ഇന്‍ഡോ-അറബിക് അക്കങ്ങളെക്കുറിച്ച് അദ്ദേഹമെഴുതിയ അറബി മൂലഗ്രന്ഥം നഷ്ടപ്പെട്ടുപോയെങ്കിലും അതിന്റെ ലാറ്റിന്‍ വിവര്‍ത്തനം 'Algoritmi de numero Indorum' എന്ന പേരിലും, ഇംഗ്ലീഷ് വിവര്‍ത്തനം 'Al-Khwarizmi on the Hindu Art of Reckoning'എന്ന പേരിലും നിലവിലുണ്ട്. ഈ വിവര്‍ത്തനങ്ങളില്‍ നിന്നാകണം യൂറോപ്പില്‍ അറബിക് ന്യൂമെറല്‍സെന്നു വിളിക്കുന്ന ഇന്ത്യന്‍ ന്യൂമെറല്‍ സിസ്റ്റം പ്രചാരത്തിലായത്!

ഏതാണ്ട് 2400 സ്ഥലങ്ങളുടെ ലാറ്റിറ്റ്യൂഡും ലോഞ്ജിറ്റ്യൂഡും കണക്കാക്കുന്നതും ആസ്ട്രോലാബ്, സണ്‍ഡയല്‍, കലണ്ടര്‍ എന്നിവ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നതുമായ ഒരു പ്രധാന വര്‍ക്കും അദ്ദേഹത്തിന്റേതായുണ്ട്. പ്രശസ്തരായ പല വ്യക്തികളുടേയും ജാതകക്കുറിപ്പുകളുള്‍ക്കൊള്ളുന്ന മറ്റൊരു പുസ്തകവും അദ്ദേഹം എഴുതിയിട്ടുണ്ട്. എ.ഡി. 850 നോടടുത്താണ് അദ്ദേഹം മരണപ്പെട്ടതെന്നു കരുതപ്പെടുന്നു.

ആകെ ആനകളെത്രയെന്ന് കണ്ടെത്താമോ?

'കടപയാദി' പരിചയപ്പെടുത്താനായി 'സിംഹനീതി' എന്നൊരു പോസ്റ്റ് ഓര്‍മ്മയുണ്ടാകുമല്ലോ? വളരെയധികം കമന്റുകള്‍ ഉണ്ടായ പോസ്റ്റുകളില്‍ ഒന്നായിരുന്നൂ അത്. ശ്രീ. പള്ളിയറ ശ്രീധരന്‍ മാഷിന്റെ അനുവാദത്തോടെ, അദ്ദേഹം ഒരു പത്രത്തില്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ലേഖനം ചുരുക്കി കൊടുത്തതായിരുന്നു. മലയാളികളുടെ ഗണിതവിജ്ഞാനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള രസകരമായ ഒരു കഥയായിട്ടാണ് ഞങ്ങള്‍ അതിനെ പരിഗണിച്ചത്.

'മഹാവീരാചാര്യ ഗണിതസാരസംഗ്രഹത്തി'ല്‍ നിന്നും ദ്വിമാനസമവാക്യങ്ങളുടെ (Quadratic Equations)നിര്‍ദ്ധാരണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു പ്രഹേളികാശ്ലോകം അയച്ചുതന്നിരിക്കുകയാണ് വി.കെ. മിനീഷ് ബാബു സാര്‍.

ശ്ലോകം
ഗജയൂഥസ്യ ത്ര്യംശ ശേഷ
പദം ച ത്രിസംഗുണം സാ
നൌ സരസി ത്രിഹസ്തിനീഭിര്‍
നാഗോ ദൃഷ്ടഃ കതീഹ ഗജാഃ

(815 മഹാവീരാചാര്യ ഗണിതസാരസംഗ്രഹം 4-41)

അര്‍ഥം

ആനക്കൂട്ടത്തിലെ ആനകളില്‍ മൂന്നിലൊരു ഭാഗവും ബാക്കിയുള്ളതിന്റെ വര്‍ഗമൂലത്തിന്റെ മൂന്നുമടങ്ങും മലനിരകളിലുണ്ട്. ഒരു കൊമ്പനാന മൂന്ന് പിടിയാനകളോടു ചേര്‍ന്ന് സരസ്സിലുമുണ്ടെങ്കില്‍, ആകെ ആനകളെത്ര?

ഉത്തരം കമന്റു ചെയ്യാം!

മോബിയസ് സ്ട്രിപ്പ് Mobius Strip

കഴിഞ്ഞ ആഴ്ചയിലെ, 'സ്പൈറോഗ്രാഫി' നെക്കുറിച്ചുള്ള പോസ്റ്റ് വായനക്കാര്‍ ഓര്‍ക്കുന്നുണ്ടല്ലോ?

ഇതുപോലെ, ഗണിതത്തിലെ രസകരങ്ങളായ കാര്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പോസ്റ്റുകള്‍ ഇടക്ക്

പ്രതീക്ഷിക്കുന്നതായി ധാരാളം ഗണിതകുതുകികള്‍ ഞങ്ങളോട് പറയുകയുണ്ടായി.

അത്തരത്തിലൊന്ന്. ഇതാ .....ഒരു കടലാസ് നാടയും (പേപ്പര്‍ സ്ട്രിപ്പ്) അല്പം പശയും മാത്രം മതി മോബിയസ് സ്ട്രിപ്പ് നിര്‍മ്മിക്കാന്‍. പേപ്പര്‍ സ്ട്രിപ്പ് ഒരു പ്രാവശ്യം തിരിച്ചശേഷം രണ്ടറ്റവും കൂട്ടിയോജിപ്പിച്ച് ഒട്ടിച്ചാല്‍ മോബിയസ് സ്ട്രിപ്പ് ആയി.ഒരു ഉറുമ്പ് സ്ട്രിപ്പിലൂടെ സഞ്ചരിച്ചാല്‍, അത് സഞ്ചാരം തുടങ്ങിയേടത്തുതന്നെ തിരിച്ചെത്തും. ഒരു വശവും ഒരു അതിര്‍വരമ്പുംമാത്രമുള്ള പ്രതലമാണിത്. രണ്ടു ജര്‍മ്മന്‍ ഗണിതജ്ഞരായ 'അഗസ്ത്ഫെര്‍ഡിനാന്റ് മോബിയസും' 'ജോഹാന്‍

ബെനഡിക്ട് ലിസ്റ്റിങ്ങു'മാണ് ഇതിന്‍റെ ഉപജ്ഞാതാക്കളായി അറിയപ്പെടുന്നത്.1858 ലാണ് മോബിയസ് സ്ട്രിപ്പിന്‍റെ കണ്ടുപിടുത്തം. എന്നാല്‍, മോബിയസ് സ്ട്രിപ്പിന്‍റെ ആകൃതിയിലുള്ള രേഖാചിത്രങ്ങളടങ്ങിയ പുരാതന അലക്സാണ്ട്രിയന്‍ കയ്യെഴുത്തുപ്രതികള്‍ കണ്ടെടുത്തിട്ടുള്ളതുകൊണ്ട് പൗരാണികകാലം മുതല്‍ക്കുതന്നെ ഇതിന്‍റെ പ്രത്യേകതകള്‍ ശ്രദ്ധിക്കപ്പെട്ടിരുന്നുവെന്നുവേണം കരുതാന്‍. യൂക്ലീഡിയന്‍ സ്പേസില്‍,യോജിപ്പിക്കുന്നതിനുമുന്‍പുള്ള തിരിക്കല്‍ (twist) ആധാരമാക്കി, രണ്ടുതരം സ്ട്രിപ്പുകള്‍ ഉണ്ടാക്കാം - ക്ലോക്ക്​വൈസും (Clockwise Mobious strip) ആന്‍റി ക്ലോക്ക്​വൈസും (Anti clockwise Mobious strip). ഈ സ്ട്രിപ്പിന്‍റെ 'ഓയ്ലര്‍ സ്വഭാവം' (Euler characteristic) പൂജ്യമാണ്. ഒരു മോബിയസ് സ്ട്രിപ്പിനെ കേന്ദ്രരേഖയിലൂടെ മുറിച്ചാല്‍ രണ്ടു സ്ട്രിപ്പുകളല്ല കിട്ടുക-മറിച്ച് രണ്ടു തിരിവുകളുള്ള മോബിയസ് സ്ട്രിപ്പല്ലാത്ത ഒരുനീളന്‍ സ്ട്രിപ്പ് മാത്രം!

ഒരു മോബിയസ് സ്ട്രിപ്പിനെ മുറിക്കുമ്പോഴുണ്ടാകുന്ന തിരിവുകളു (twists) ടെ എണ്ണം

കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം 2N+2=M എന്നാണ്. ഇവിടെ 'N' മുറിക്കുന്നതിനുമുമ്പുള്ളതും 'M'മുറിച്ചതിനുശേഷവുമുള്ളതുമായ തിരിവുകളു (twists) ടെ എണ്ണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

മോബിയസ് സ്ട്രിപ്പിന് ധാരാളം സാങ്കേതിക സാദ്ധ്യതകള്‍ ഉണ്ട്.ഇപ്പോള്‍തന്നെ വിഭിന്ന മേഖലകളില്‍ ഇതിന്‍റെ ഉപയോഗം നിലവിലുണ്ട്. കണ്‍വെയര്‍ ബെല്‍റ്റുകളായി ഇവ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനു പ്രധാനകാരണം കുറഞ്ഞ തേയ്മാനമാണ്. കംപ്യൂട്ടര്‍ പ്രിന്‍റര്‍‍,ടൈപ്പ്റൈറ്റര്‍ റിബ്ബണ്‍ എന്നിവയിലും ഇതുപയോഗിക്കുന്നു. ഫിസിക്സിലും, കെമിസ്ട്രി/നാനോടെക്നോളജി എന്നുവേണ്ടാ, സംഗീതോപകരണങ്ങളുടെ നിര്‍മ്മിതിയില്‍ പോലും ഈ സ്ട്രിപ്പിന്‍റെ സാദ്ധ്യതകള്‍ അപാരമാണ്.

(കൂട്ടത്തില്‍ പറയട്ടെ, 'നാനോ ടെക്നോളജിയും ഗണിതവും' എന്ന വിഷയത്തെ അധികരിച്ച്, ആ വിഷയത്തില്‍ അവഗാഹമുള്ള ഐ.ടി.@സ്കൂള്‍ എക്സിക്യൂട്ടീവ് ഡയറക്ടര്‍ ശ്രീ.അന്‍വര്‍ സാദത്ത് സാര്‍ നമുക്ക് ഒരുലേഖനം വാഗ്ദാനം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്!).

സാഹിത്യ രംഗത്തും ഈ സ്ട്രിപ്പിനെ ആധാരമാക്കി ധാരാളം സയന്‍സ് ഫിക്ഷന്‍

കഥകള്‍ നിലവിലുണ്ട്. (ആര്‍തര്‍ സി.ക്ലാര്‍ക്കിന്‍റെ 'The wall of Darkness' ഉദാഹരണം)

ഗണിതതല്പരരായ ദമ്പതികള്‍ തങ്ങളുടെ ദാമ്പത്യ ഐക്യം പ്രകടിപ്പിക്കാന്‍, മോബിയസ് മോതിരങ്ങളും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ടത്രെ! (ചിത്രം 2 നോക്കുക).

..............................................................................................................

ഇതിനെക്കുറിച്ച് കൂടുതല്‍ അറിയാവുന്നവര്‍ കമന്‍റസിലൂടെ പ്രതികരിക്കുമെന്ന് കരുതട്ടെ.

ഇതുപോലുള്ള ഗണിതവിസ്മയ വിശേഷങ്ങള്‍ നിങ്ങള്‍ക്കും അറിയാമെങ്കില്‍

എഴുതുകയോ, മെയില്‍ ചെയ്യുകയോ ആകാം.

പോസ്റ്റലായി അയക്കുന്നവര്‍ 'എഡിറ്റര്‍, ബ്ലോഗ് വിശേഷം, എടവനക്കാട്, 682502 എന്ന

വിലാസത്തിലും, മെയില്‍ ചെയ്യുന്നവര്‍ 'mathsekm@gmail.com'എന്ന വിലാസത്തിലും അയക്കുക.

AMTI (THE ASSOCIATION OF MATHEMATICS TEACHERS OF INDIA)

KMTA(Kerala Mathematics Teachers Association)എന്ന സംഘടനയെ മുമ്പൊരിക്കല്‍ പരിചയപ്പെടുത്തിയതോര്‍ക്കുന്നുണ്ടല്ലോ? വയനാട് ജില്ലയിലെ തൃശ്ശിലേരി ഗവ. ഹയര്‍ സെക്കന്ററി സ്കൂളിലെ എം.ജെ. ജോണി എന്ന അധ്യാപകന്‍ , ദേശീയ തലത്തില്‍ പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്ന ഒരു സംഘടനയെ പരിചയപ്പെടുത്തുന്നു-
"THE ASSOCIATION OF MATHEMATICS TEACHERS OF INDIA"(AMTI)
1965 ല്‍ സ്ഥാപിതമായ ഈ സംഘടന എല്ലാ തലങ്ങളിലുമുള്ള ഗണിതാധ്യാപന മികവിനെയാണ് ലക്ഷ്യമിടുന്നത്.
സംഘടന എല്ലാ വര്‍ഷവും "National Mathematical Talent Search Competition" നടത്തുകയും മികച്ച വിദ്യാര്‍ഥികള്‍ക്കായി വര്‍ക്​ഷോപ്പുകളും സെമിനാറുകളും നടത്തുകയും ചെയ്യാറുണ്ട്. ഗണിതാധ്യാപന രംഗത്തെ പുത്തന്‍ അറിവുകള്‍ പങ്കുവെയ്കുന്നതിനായി എല്ലാ വര്‍ഷവും രാജ്യത്തിന്റെ വിവിധ ഭാഗങ്ങളില്‍ വെച്ച് ദേശീയ സമ്മേളനങ്ങള്‍ നടത്താറുമുണ്ടെന്ന് ഇതോടൊപ്പം അദ്ദേഹം അയച്ച ഒരു ലഘുലേഖ അവകാശപ്പെടുന്നു.
വര്‍ഷത്തില്‍ രണ്ടുതവണ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്ന "The Mathematics Teacher"എന്നൊരു ജേര്‍ണലിനെക്കുറിച്ചും പരാമര്‍ശമുണ്ട്.
ഗണിതതല്പരര്‍ക്കെല്ലാം അംഗത്വം സൌജന്യമാണ്.
സംഘടനയെക്കുറിച്ചുള്ള കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍ക്ക് ഇവിടെ ക്ളിക്ക് ചെയ്യുക!

അംഗത്വത്തിനും മററ് വിവരങ്ങള്‍ക്കും ബന്ധപ്പെടേണ്ട വിലാസം..

THE SECRETARY
B 19,VIJAY AVENUE,85/37 V.R.PILLAI STREET,
TRIPLICANE'CHENNAI-600 005 Ph:044 2844 1523
E-mail:amti@vsnl.com

പട്ടികപഠനവുമനിവാര്യം?

രണ്ടു ദിവസമായി നമ്മുടെ ബ്ളോഗില്‍ ഗണിതപോസ്ററുകളൊന്നും കാണുന്നില്ലല്ലോയെന്ന് പലര്‍ക്കും പരാതി.
ഓണാവധിയുടെ ആലസ്യത്തിലാണ്ട വായനക്കാര്‍ക്ക് ലഘുവായ വിഭവങ്ങള്‍ നല്‍കാമെന്നു കരുതി!
ഈയിടെ ബസ്സില്‍ വെച്ച് കണ്ടുമുട്ടിയ ഒരു സംസ്ക്രൃതാധ്യാപകന്‍ രചിച്ച് പ്രസിദ്ധീകരിക്കാനേല്‍പ്പിച്ച ഒരു കണക്കുപാട്ടാണ് ചുവടെ.
ഗണിതസ്നേഹിയായ അദ്ദേഹത്തിന്റെ ആശയത്തോട് നമുക്ക് യോജിക്കുകയോ വിയോജിക്കുകയോ ആകാം.
എന്നാല്‍ ഇതുപോലെ ഈണത്തില്‍ പാഠാവുന്ന പാട്ടുകള്‍ ക്ളാസ്സുമുറികളില്‍ ഗണിതകാഠിന്യത്തിന്റെ മഞ്ഞുമലകള്‍ തകര്‍ക്കുമെന്നകാര്യത്തില്‍ രണ്ടുപക്ഷമില്ല!

ചിഹ്ന വിചിന്തനമനിവാര്യം
പട്ടികപഠനവുമനിവാര്യം?

പ്ളസ്സുമൈനസ്സുകള്‍ ഗുണനം നടത്തുമ്പോള്‍
മൈനസ്സാണല്ലോ ചിഹ്നം!...
മൈനസ്സും മൈനസ്സും തമ്മില്‍ ഗുണിച്ചെന്നാല്‍
പ്ളസ്സാണവിടെ ചിഹ്നം!...
പ്ളസ്സും പ്ളസ്സും തമ്മില്‍ ഗുണനങ്ങള്‍ വന്നെന്നാല്‍
ചിഹ്നത്തില്‍ മാററമില്ല!...
മൈനസ്സും മൈനസ്സും തമ്മില്‍ കൂട്ടുമ്പോഴും
മാററമില്ലല്ലോ ചിഹ്നം!...
ഹരണത്തിനും വ്യവകലനത്തിനും
മുന്നറിവാണു മുഖ്യം!...
ഗുണനക്രിയകളധിവേഗം ചെയ്യുവാന്‍
പട്ടികയാണുത്തമം!...
പട്ടിക പാഠമായ് തീര്‍ക്കാത്തൊരുത്തനും
ഗുണനമെളുപ്പമല്ല!...
ഹരണക്രിയകള്‍ക്കുമേറെ സഹായിക്കു-
മീ ഗുണനക്രിയകള്‍!...
അതുകൊണ്ടിന്നേവരും പൂര്‍ണ്ണമായ് പട്ടിക
സ്വായത്തമാക്കിടേണം!...
സ്ക്വയറൂട്ട് കാണുമ്പോള്‍ വേഗത്തില്‍ ചെയ്യുവാ-
നാരാണൊരുങ്ങീടുക?...
പട്ടികക്കൂട്ടുകള്‍ നന്നായ് പഠിച്ചവര്‍
മുന്‍നിരയെത്തുമല്ലോ!...
കണക്കുപഠനത്തിനിന്നൊട്ടേറെ
കരുത്തു പകര്‍ന്നീടുവാന്‍
പെരുക്കല്‍പട്ടിക പഠനമതല്ലാതെ
മറ്റെന്തുപായമഹോ!...

ആന്റണി ഇലഞ്ഞിക്കല്‍
സാന്റാക്രൂസ് എച്ച്.എസ്.എസ്
ഓച്ചന്തുരുത്ത്
വൈപ്പിന്‍
എറണാകുളം

....................................................................................................................
നിങ്ങള്‍ക്കും ഇതുപോലെ കവിത വരുന്നുണ്ടോ?
ഒരു പേപ്പറില്‍ പകര്‍ത്തി അയക്കുകയോ, മെയില്‍ ചെയ്യുകയോ ആകാം!
അയക്കേണ്ട വിലാസം..
എഡിററ​ര്‍,
ബ്ളോഗ് വിശേഷം
എടഴനക്കാട്. പി.ഒ
എറണാകുളം
682502
ഇ-മെയില്‍ : mathsekm@gmail.com

കളിമണ്‍ ടോക്കണുകള്‍!

11000 വര്‍ഷങ്ങള്‍ക്ക് മുന്‍പ് സുമേറിയക്കാര്‍ ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന കളിമണ്‍ ടോക്കണുകള്‍!
വായന, എഴുത്ത്, ഗണിതം (Reading, Writing, Arithmetic) എന്നിവയുടെ മുന്‍ഗാമിയായികണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

ഐ.ടി@സ്ക്കൂള്‍ ലിനക്സിലെ Dr.Geo യോടൊപ്പം നല്‍കിയിട്ടുള്ള ഉദാഹരണങ്ങള്‍ കാണുന്ന വിധം

Dr.Geo തുറന്ന് എങ്ങനെ ഉദാഹരണങ്ങള്‍ കാണാന്‍ കഴിയും എന്നതിനെപ്പറ്റി ഒരു അദ്ധ്യാപിക അറിയാനാഗ്രഹം പ്രകടിപ്പിച്ചിരുന്നു. ഡ്രോയിങ്ങ് ജ്യോമെട്രി (Drawing Geometry) എന്നതിന്റെ ചുരുക്കരൂപമാണ് Dr.Geo എന്നറിയാമല്ലോ. Mathematics നും Physics നും ഏറെ ഉപകാരപ്രദമായ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങള്‍ ഐ.ടി@സ്ക്കൂള്‍ ഗ്നു/ലിനക്സില്‍ പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്ന Dr.Geoല്‍ ഉണ്ട്. അന്തര്‍വൃത്തവും പരിവൃത്തവും സദൃശത്രികോണങ്ങളും തുടങ്ങി പരാബൊളയും എലിപ്സും ലെന്‍സ് ഫോക്കസിങ്ങുമെല്ലാം ഇതിലുണ്ട്. എങ്ങനെ അത് പ്രവര്‍ത്തിപ്പിക്കാമെന്നു നോക്കാം.



ഐ.ടി@സ്ക്കൂള്‍ ഗ്നു/ലിനക്സ് Applications എന്ന മെനുവില്‍ നിന്നും Education എന്ന സബ്മെനുവിലെ Dr.Geo ല്‍ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക.

ഈ സമയം തുറന്നു വരുന്ന Dr.Geoയുടെ മെനുബാറിലെ File മെനുവില്‍ നിന്നും Open ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക.

ഈ വിന്റോയിലെ Homeല്‍ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുമ്പോള്‍ വരുന്ന ../ ല്‍ ഡബിള്‍ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക.

../ നു താഴേക്ക് Scroll ചെയ്ത് usr ല്‍ ഡബിള്‍ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക

അതിലെ share/ ല്‍ ഡബിള്‍ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക

താഴേക്ക് Scroll ചെയ്യുമ്പോള്‍ drgeo/ കാണാം. താഴേക്ക് Scroll ചെയ്യുമ്പോള്‍ examples/ കാണാം.

അതിലെ Figures/ ല്‍ ക്ലിക്ക് ചെയ്തു നോക്കൂ...

നമുക്കാവശ്യമായ നിരവധി ചിത്രങ്ങള്‍ ഇതില്‍ കാണാം.

ഉദാഹരണത്തിന് cercle-inscrit.fgeo യില്‍ ഡബിള്‍ ക്ലിക്ക് ചെയ്തു നോക്കുക. അന്തര്‍വൃത്തവും കോണിന്റെ സമഭാജിയുമെല്ലാം കാണാം.

Control കീയും W യും കൂടി ഒരേ സമയം അമര്‍ത്തിയാല്‍ ഈ ചിത്രം Close ചെയ്യാം.

വീണ്ടും File-Open എടുത്താല്‍ ഉദാഹരണങ്ങള്‍ ഓരോന്നും ഇതേ ക്രമത്തില്‍ കാണാം. ഫിസിക്സിലെ ലെന്‍സ് ഫോക്കസിങ്ങും ഈ ഉദാഹരണങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തിലുണ്ട്.



Examples Path: usr/share/drgeo/examples/figures

മാത്തമാറ്റിക്സ് ടാലന്റ് സെര്‍ച്ച് എക്സാമിനേഷന്‍

ഗണിതശാസ്ത്ര പരിഷത്ത് സംസ്ഥാനതലത്തില്‍ നടത്തുന്ന മാത്തമാറ്റിക്സ് ടാലന്റ് സെര്‍ച്ച് സ്കോളര്‍ഷിപ്പ് പരീക്ഷക്ക് 10 മുതല്‍ അപേക്ഷിക്കാം. 1 മുതല്‍ പ്ലസ് ടു തലം വരെയുള്ള കേരള, സി.ബി.എസ്.ഇ, ഐ.സി.എസ്.ഇ സിലബസുകളില്‍ പഠിക്കുന്ന വിദ്യാര്‍ത്ഥികള്‍ക്ക് പങ്കെടുക്കാം. ഡിസംബര്‍ 4 ന് നടത്തുന്ന പ്രാഥമിക പരീക്ഷയില്‍ സംസ്ഥാന തലത്തില്‍ മികവ് നേടുന്നവര്‍ക്ക് രണ്ടാം ഘട്ട 2010 ജനുവരി 16 ന് ജില്ലാ കേന്ദ്രങ്ങളില്‍ നടക്കും. ഇതില്‍ 1 മുതല്‍ 7 വരെ റാങ്ക് നേടുന്ന എല്ലാ വിഭാഗം കുട്ടികള്‍ക്കും മെറിറ്റ് സര്‍ട്ടിഫിക്കറ്റും സ്കോളര്‍ഷിപ്പും ലഭിക്കും. കൂടാതെ ഒന്നാം റാങ്കുകാര്‍ക്ക് സ്വര്‍ണ്ണമെഡലും നല്‍കും. വിശദവിവരങ്ങള്‍ക്ക് 7 രൂപ തപാല്‍ സ്റ്റാമ്പ് ഒട്ടിച്ച് കവര്‍ സഹിതം ജനറല്‍ സെക്രട്ടറി, കേരള ഗണിത ശാസ്ത്ര പരിഷത്ത്, മണര്‍കാട് പി.ഒ, കോട്ടയം എന്ന വിലാസത്തില്‍ അപേക്ഷിക്കാം.

ഥേല്‍സ് എന്ന ഗ്രീക്ക് ഗണിതജ്ഞന്‍

ഗ്രീക്ക് ചരിത്രഗ്രന്ഥങ്ങളില്‍ പരാമര്‍ശിക്കപ്പെടുന്ന 7 മഹര്‍ഷിമാരില്‍ പ്രഥമഗണനീയനാണ്‌ ഥേല്‍സ്. നമ്മുടെ എട്ടാം ക്ലാസ് പാഠപുസ്തകത്തിലെ സൈഡ് ബോക്സില്‍ ഇദ്ദേഹത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു പരാമര്‍ശമുണ്ട്. ദൂരെ കടലില്‍ നങ്കൂരമിട്ടു കിടന്ന ഒരു കപ്പല്‍, കരയില്‍ നിന്നും എത്ര അകലത്തിലാണ് എന്ന് കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ അദ്ദേഹം ഉപയോഗിച്ച ഗണിതതന്ത്രത്തെപ്പറ്റി പാഠപുസ്തകത്തിലെ 19-ം പേജില്‍ ചിത്രസഹിതം വിശദമായി പ്രതിപാദിച്ചിരിക്കുന്നു. അദ്ദേഹത്തിന്റെ ജീവിതത്തെക്കുറിച്ച് കുറച്ചറിവുകള്‍ കൂടി...

ജീവിതകാലം
ജനനം ഏഷ്യാമൈനറിലുള്ള മിലേത്തൂസില്‍ ബി.സി.640നോടടുത്താണെന്ന്‌ കരുതപ്പെടുന്നു. വ്യാപാരിയായ പിതാവ് വാണിജ്യകാര്യങ്ങള്‍ക്കായി ചെയ്തിരുന്ന യാത്രകളാണത്രേ ഗ്രീക്ക് ജനത അമാനുഷികനായി കരുതി ആരാധിച്ചുപോരുന്ന ഇദ്ദേഹതെ സ്വാധീനിച്ചത്. ബി.സി.548നും 545നും ഇടയില്‍ നടന്ന 58ാം ഒളിമ്പിക് മത്സരം കാണാനായി യാത്ര തിരിച്ച ഇദ്ദേഹം പിന്നീട് തിരിച്ച് വന്നില്ലെന്നാണ് ചരിത്രം

വഴിത്തിരിവ്
ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രത്തില്‍ അതീവതല്പരനായിരുന്ന ഇദ്ദെഹം മറ്റെല്ലാം മറന്ന് ദീര്‍ഘദൂരം സഞ്ചരിയ്ക്കുക പതിവായിരുന്നു. ഒരു ദിവസം രാത്രി ഇപ്രകാരം സഞ്ചരിയ്ക്കുന്ന സമയത്ത് വഴിയരികിലെ ഒരു പൊട്ടക്കിണറ്റില്‍ ഇദ്ദേഹം വീഴുകയുണ്ടായി. ഈ അപകടം കണ്ട് രക്ഷിയ്ക്കാന്‍ വന്ന വൃദ്ധയായ ഒരു സ്ത്രീ 'സ്വന്തം കാല്ക്കീഴില്‍ എന്താണെന്ന് ആദ്യം നോക്കണം,എന്നിട്ട് വേണം ആകാശത്തില് എന്തുണ്ടെന്നു പരിശോധിയ്ക്കാന്‍' എന്നൊരു ഉപദേശവും നല്കി. അന്നോളം സ്വപ്നജീവിയായിരുന്ന ഇദ്ദേഹം ശേഷം തികഞ്ഞ പ്രായോഗികബുദ്ധിയുള്ള ആളായി മാറി.

രസകരങ്ങളായ കഥകള്‍
കോവര്‍കഴുതകളുടെ ചുമലില്‍ ഉപ്പുംചാക്കുമേറ്റി നീങ്ങുന്ന ഒരു വര്‍ത്തകസംഘത്തോടൊപ്പം യാത്ര ചെയ്തിരുന്ന സമയം ഒരു പുഴ കടക്കേണ്ടി വന്നു. യാദൃശ്ചികമായി ഏതാനും കഴുതകള്‍ പുഴയുടെ അല്പം ആഴമേറിയ ഒരു കുഴിയിലേയ്ക്ക് വീണു. ഉപ്പ് കുറെ അലിഞ്ഞുപോയി ഭാരക്കുറവ് അനുഭവപ്പെട്ട കഴുതകളാകട്ടെ പിന്നീട് പുഴ കടക്കേണ്ടി വരുന്ന സന്ദര്‍ഭങ്ങളിലെല്ലം ചാക്ക് വെള്ളത്തില്‍ മുക്കുക പതിവാക്കി. കാര്യം മനസ്സിലായ ഥേല്‍സ് ഉപ്പിനു പകരം പഞ്ഞിക്കെട്ട് വെച്ചെന്നും ആണ് കഥ.

ബി.സി.585 മെയ് മാസം 28നു പൂര്‍ണ്ണചന്ദ്രഗ്രഹണമുണ്ടാകുമെന്ന് ഇദ്ദേഹം പ്രവചിച്ചു. ഇത് സത്യമായിത്തീര്‍ന്നപ്പോള്‍ ജനങ്ങള്‍ ഇദ്ദേഹത്തെ അമാനുഷികനായി കരുതാന്‍ തുടങ്ങി, ഋഷിവര്യനു തുല്യം കരുതി പൂജിച്ചു. കാലാവസ്ഥയില്‍ വരുന്ന മാറ്റങ്ങള്‍ വളരെ ശ്രദ്ധയോടെ നിരീക്ഷിച്ചിരുന്ന ഇദ്ദേഹം ഒലിവുകൃഷിയ്ക്കു പറ്റിയ കാലാവസ്ഥയാണു അടുത്ത ഏതാനും വര്‍ഷങ്ങളില്‍ എന്ന് മുന്‍‌കൂട്ടിക്കണ്ട്, കൃഷിയില്‍ നഷ്ടം അനുഭവിയ്ക്കുന്ന കര്‍ഷകരില്‍ നിന്നും യന്ത്രങ്ങള്‍ തുച്ഛവിലയ്ക്കു വാങ്ങി അവസരം പരമാവധിചൂഷണം ചെയ്തുവത്രേ.

സംഭാവനകള്‍

* നിഴലിന്റെ നീളമളന്ന് പിരമിഡുകളുടെ ഉയരം കണക്കാന് സാധിയ്ക്കുമെന്ന് തെളിയിച്ചു.
* അനവതികോണ്‍ അളന്ന് അകലം കണക്കാക്കുന്ന രീതി ആവിഷ്ക്കരിച്ചു.
* തെളിവ് എന്ന ആശയം ക്ഷേത്രഗണിതത്തിനു നല്കി.
* അഭിഗൃഹീതങ്ങളുപയോഗിച്ച് യുക്തിവാദം കൊണ്ട് സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ തെളിയിയ്ക്കുന്ന രീതി ആരംഭിച്ചു
* ത്രികോണങ്ങളേയും വൃത്തങ്ങളേയും സംബന്ധിച്ച് നിരവധി സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ ആവിഷ്കരിച്ചു

ആര്യഭടന്‍.... മലയാളിയായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍

പുരാതന ഭാരതത്തിലെ മികച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും, ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞനും ആയിരുന്നു ആര്യഭടന്‍. ഇന്ത്യയുടെ ആദ്യത്തെ കൃത്രിമോപഗ്രഹത്തിന്‌ അദ്ദേഹത്തോടുള്ള ബഹുമാനാര്‍ത്ഥം ആര്യഭട്ട എന്നാണ്‌ നാമകരണം ചെയ്തത്‌. ഉള്ളടക്കം. ക്രിസ്തുവര്‍ഷം
476-ല്‍ അശ്മകം എന്ന സ്ഥലത്താണ്‌ ആര്യഭടന്‍ ജനിച്ചത്‌ എന്ന് പുരാതന രേഖകളില്‍ നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാന്‍ കഴിയും. ഇത് കൊടുങ്ങല്ലൂരാണ് എന്ന് വാദിക്കുന്നവരുണ്ട്. ചെറുപ്പത്തിലേ ഗണിതത്തില്‍ തത്‌പരനായ അദ്ദേഹം കേരളത്തിലെ പ്രാഥമിക പഠനങ്ങള്‍ക്കു ശേഷം നളന്ദ സര്‍വകലാശാലയില്‍ ഉപരിപഠനത്തിനായി അന്ന് പാടലീപുത്രം രാജ്യത്തിന്റെ ഭാഗമായിരുന്ന ബീഹാറിലെ കുസുമപുരത്തേക്ക്‌ യാത്രയായി. അക്കാലത്ത്‌ ലോകത്തിന്റെ വിവിധഭാഗങ്ങളില്‍ നിന്ന് വിദ്യാര്‍ത്ഥികള്‍ ഇവിടെയെത്തി ഗണിതപഠനവും ഗവേഷണങ്ങളും നടത്തി പോന്നിരുന്നു.

കുസുമപുരത്തുവച്ച് എ.ഡി. 499-ല്‍ തനിക്ക് 23 വയസ്‌ പ്രായമുള്ളപ്പോഴാണ് അദ്ദേഹം ആര്യഭടീയം രചിച്ചത്‌. അതിനാല്‍ പേര്‍ഷ്യന്‍ ചിന്തകനായിരുന്ന അല്‍ബറൂണി 'കുസുമപുരത്തെ ആര്യഭടന്‍' എന്നാണ്‌ തന്റെ കൃതികളില്‍ പ്രയോഗിച്ചു കാണുന്നത്‌. ഡി.ജി. ആപ്തേയുടെ അഭിപ്രായപ്രകാരം നളന്ദ സര്‍വ്വകലാശാലയുടെ കുലപതി (Vice chancellor) ആയിരുന്നു ആര്യഭടന്‍. ആര്യഭടന്‍ തന്റെ ശിഷ്ടജീവിതം മുഴുവന്‍ കഴിഞ്ഞത് കുസുമപുരത്തുതന്നെയായിരുന്നു. ലഗാദമുനിയിലാരംഭിക്കുന്ന ഭാരതീയ ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഏറ്റവും തിളക്കമുള്ള കണ്ണിയാണ് ആര്യഭടന്‍ ജ്യാമിതിയിലും ബീജഗണിതത്തിലും ജ്യോതിശാസ്‌ത്രത്തിലും അദ്ദേഹം ആധുനികശാസ്‌ത്രത്തിന്‌ വഴികാട്ടിയായി. അതുകൊണ്ടുതന്നെ, 1975 ഏപ്രില്‍ 19-ന്‌ സ്വന്തമായി നിര്‍മിച്ച ആദ്യ ഉപഗ്രഹം ഇന്ത്യ വിക്ഷേപിച്ചപ്പോള്‍ അതിന്‌ `ആര്യഭട'യെന്ന്‌ പേര്‌ നല്‍കി‌.

ആര്യഭടന്റെ പ്രധാന ഗവേഷണവിവരങ്ങള്‍

ഭൂമി ഉരുണ്ടാണിരിക്കുന്നതെന്നും സ്വന്തം അച്ചുതണ്ടില്‍ അത്‌ കറങ്ങുന്നതു കൊണ്ടാണ്‌ രാവും പകലുമുണ്ടാകുന്നതെന്നും ആദ്യമായി അഭിപ്രായപ്പെട്ട ജ്യോതിശാസ്‌ത്രജ്ഞന്‍ ആര്യഭടനാണെന്ന് കരുതുന്നു. ചന്ദ്രന്‍ പ്രകാശം പരത്തുന്ന ഗോളമല്ലെന്നും പകരം സൂര്യപ്രകാശമാണ്‌ ചന്ദ്രന്റെ ശോഭയ്‌ക്കു നിദാനമെന്നും ആദ്യമായി അഭിപ്രായപ്പെട്ടത് ആര്യഭടനാണ്. ജ്യോതിശാസ്‌ത്രത്തില്‍ പുതിയൊരു അധ്യായം തന്നെ തുറന്നെങ്കിലും, ഗ്രീക്കുകാരനായ ടോളമിയെപ്പോലെ ഭൂമിയാണ്‌ പ്രപഞ്ചകേന്ദ്രം എന്ന്‌ ആര്യഭടനും സങ്കല്‍പ്പിച്ചു.

* π(പൈ) യുടെ മൂല്യം 3.1416 ആകുന്നു.
* ത്രികോണമിതിയിലെ സൈന്‍(sine) പട്ടിക തയ്യാറാക്കാനുള്ള മാര്‍ഗം.
* ജ്യാമിതിയിലും ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിലും ബീജഗണിതം ഉപയോഗിക്കാന്‍ വേണ്ട മാര്‍ഗ്ഗനിര്‍ദ്ദേശം
* ശാസ്ത്രീയവും ലളിതവുമായ കാലവിഭജനം
* ഭൂമിയുടെ ഭ്രമണത്തേയും ഗ്രഹങ്ങളേയും പറ്റിയുള്ള വിശകലനം
* ഗ്രഹണങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ശാസ്ത്രീയവിശദീകരണം അവതരിപ്പിച്ചു.
* ഘനമൂലവും, വര്‍ഗ്ഗമൂലവും കണ്ടെത്താനുള്ള മാര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍
* ഭൂഗോളത്തിന്റെ ചുറ്റളവ്‌ 25,080 മൈല്‍ ആണെന്നു കണക്കുകൂട്ടി.
* 100,000,000,000 പോലുള്ള വലിയ സംഖ്യകള്‍ക്കു പകരം ആദ്യമായി ഒറ്റ വാക്കുകള്‍ ഉപയോഗിച്ചു.

ഗണിതകവിതകള്‍

EMGHSS, Fort Kochi യിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര അദ്ധ്യാപകനായ ശ്രീ. Hari Govind എഴുതിയ രണ്ടു ഗണിതകവിതകളാണ് ഈ ലക്കത്തില്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത് കുട്ടികള്‍ക്ക് അടിത്തറയുണ്ടായിരിക്കേണ്ട ഈ വിഷമവൃത്തത്തെ ലളിതമായ ഭാഷയില്‍ അദ്ദേഹം അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ആസ്വദിക്കുക. അഭിപ്രായങ്ങള്‍ Comments ല്‍ രേഖപ്പെടുത്തുക.

Positive & Negative

Positive and Negative are

fire and water

If we add two positives

we will get a positive

If we add two Negatives

we will get a Negative

If we add them together

we will be in dilemma

Forget the sign of numbers

and choose the smaller number

Subtract it from bigger and

put the sign of bigger

Thank you Thank you my God

Dilemma is over

------------------------------------------------------------------------------

Trigonometry

Trigonometry is a 'metry'

lovely like our Tom & Jerry

If you learn this i a hurry

It will end up in a mystery

It is the story of a family

'Sin', 'Cos' and 'Tan' are the Members.

Sine is not a 'sin' at all !

Its an 'Opp' up on a 'hyp'

Cos is not a 'Cause' at all !

Its an 'adj' up on a 'hyp'

Tan is the luckiest in this group

He is a blend of Sin & Cos

If you mingle truly with them

they will give you a wonderful gem.

(നിങ്ങളുടെ രചനകളും ഇവിടെ പ്രസിദ്ധീകരിക്കാം. അവ ഇംഗ്ലീഷിലാകാം... മലയാളത്തിലാകാം. എങ്കിലും കുറച്ചു മുന്‍ഗണന നമ്മുടെ മലയാളത്തിനു തന്നെയായിരിക്കും. ഒന്നുകില്‍ അവ mathsekm@gmail.com എന്ന വിലാസത്തിലേക്ക് മെയില്‍ ചെയ്യുകയോ അല്ലെങ്കില്‍ മുകളില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഞങ്ങളുടെ ഓഫീസ് വിലാസത്തിലേക്ക് അയച്ചു തരികയോ ചെയ്താല്‍ മതി.)