A hard nut to crack?

പറവൂര്‍ സമൂഹം സ്ക്കൂളിലെ ലളിത ടീച്ചര്‍ അയച്ചു തന്ന ചോദ്യം ബ്ലോഗില്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ചോദ്യങ്ങളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോള്‍ ഏറ്റവും മികച്ച ചോദ്യങ്ങളിലൊന്നായിരുന്നുവെന്ന് നിസ്സംശയം പറയാം. ധാരാളം പേര്‍ മെയിലൂടെയും ഫോണിലൂടെയും നേരിട്ടുമെല്ലാം ഇതിന്റെ ഉത്തരമറിയാന്‍ താല്പര്യം പ്രകടിപ്പിച്ചിരുന്നു. ചോദ്യം അയച്ചതിനു പുറമേ ലളിതടീച്ചര്‍ ഉത്തരവും അയച്ചിരുന്നു. എല്ലാവര്‍ക്കും ചിന്തിക്കാനൊരവസരം എന്ന നിലയിലാണ് ഇതു വരെ ഉത്തരത്തിന് കാലതാമസമെടുത്തത്. പക്ഷേ ആദ്യത്തെ ഒരു നിശബ്ദതയ്ക്കു ശേഷം പലരും ഉത്തരവുമായെത്തി. ആദ്യം ഉത്തരസൂചികയുമായി രംഗത്തെത്തിയ്ത വരാപ്പുഴയിലെ ജോണ്‍ സാറായിരുന്നു. കൂടാതെ വട്ടനാട് നിന്നും മുരളീധരന്‍ സാര്‍, വടകരയില്‍ നിന്നും വിജയന്‍ സാര്‍, കാക്കനാട് അസീസി വിദ്യാനികേതനിലെ നിമ്മി ടീച്ചര്‍ എന്നിവരും ഉത്തരം നല്‍കി. ശരിയുത്തരം നല്‍കിയ എല്ലാവര്‍ക്കും അഭിനന്ദനങ്ങള്‍.

ഈ ചോദ്യം കാഴ്ചയില്‍ അല്പം പ്രശ്നക്കാരനാണെന്നു തോന്നിക്കുമെങ്കിലും ആള് വളരെ പാവമാണ് കേട്ടോ. ഇംഗ്ലീഷില്‍ ഒരു ശൈലിയുണ്ട് "A hard nut to crack" പരിഹരിക്കാന്‍ പ്രയാസമുള്ള പ്രശ്നം എന്നതാണ് ഈ ശൈലിയുടെ അര്‍ത്ഥം. പക്ഷെ ഇവന്‍ അത്തരക്കാരനൊന്നുമല്ല. നമ്മുടെ ഒന്‍പതാം ക്ലാസിലെ സെക്ടര്‍ പഠിപ്പിച്ചു കഴിയുന്നതോടെ കുട്ടികള്‍ക്ക് നല്‍കാന്‍ കഴിയുന്നത്ര പാവമാണ് കക്ഷി. വരച്ചിരിക്കുന്ന രൂപങ്ങളിലേക്കു മാത്രമേ നമ്മുടെ കണ്ണുകള്‍ കടന്നു ചെല്ലുന്നുള്ളു എന്നതാണ് പ്രശ്നം.

ഇനി ഉത്തര സൂചന നല്‍കാം. നോക്കിക്കോളൂ. ചാപങ്ങളുടെ സംഗമബിന്ദുക്കള്‍ക്ക് ഘടികാരഭ്രമണദിശയില്‍ E,F,G,H എന്ന് മുകളില്‍ നിന്ന് പേര് നല്‍കുക. എന്നിട്ട് BE, CE ഇവ യോജിപ്പിക്കുക. ഏതെങ്കിലും ത്രികോണം കാണാനാവുന്നുണ്ടോ? അതിനിരുവശങ്ങളിലും രണ്ടു സെക്ടറുകള്‍ കാണാനാവുന്നുണ്ടോ? ഈ മൂന്ന് രൂപങ്ങളുടേയും വിസ്തീര്‍ണം കണ്ടു പിടിക്കാന്‍ എന്തായാലും നമുക്കറിയാം. നമ്മുടെ അധ്യാപകര്‍ വിവിധ മാര്‍ഗങ്ങളിലൂടെ ഉത്തരം കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടുണ്ട്. പൈ, റൂട്ട് 3 ഇവയൊക്കെ വരുന്നതിനാല്‍ ഉത്തരം ഏകദേശവിലയായിട്ടായിരിക്കും ലഭിക്കുക.

കുട്ടികള്‍ക്ക് ഒരു വര്‍ക്ക് ഷീറ്റായി ഈ പ്രശ്നം നല്‍കിയിട്ടുണ്ട്. സെക്ടറിലേക്കെത്തുമ്പോള്‍ അവര്‍ക്കിത് ഒരു പ്രവര്‍ത്തനമായി നല്‍കാം. വര്‍ക്കു ഷീറ്റും ഈ ചോദ്യത്തിന്മേല്‍ നമ്മുടെ അധ്യാപകര്‍ നടത്തിയ ചര്‍ച്ചയും നിങ്ങള്‍ക്ക് ഡൗണ്‍ലോഡ് ചെയ്തെടുക്കാം.

Click here to download the worksheet and Discussion

ത്രികോണവും സമചതുരവും -വര്‍ക്ക് ഷീറ്റ്

എട്ടാം ക്ലാസ് ഗണിതശാസ്ത്ര പാഠപുസ്തകത്തിലെ ത്രികോണങ്ങളുടെ സര്‍വസമത, അംശബന്ധവും അനുപാതവും എന്നീ പാഠഭാഗങ്ങളെ ആധാരമാക്കി ആഗസ്റ്റ് 26 ന് ഒരു പ്രവര്‍ത്തനം നല്‍കിയിരുന്നു. ചോദ്യം ഒരിക്കല്‍ കൂടി ആവര്‍ത്തിക്കുന്നു. മുകളില്‍ നല്‍കിയിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തില്‍ ത്രികോണം PQR, സമചതുരം ABCD എന്നിവ കാണാം. ത്രികോണം PQR ന്റെ പരപ്പളവ് (വിസ്തീര്‍ണം) K ആണ്. AP=AD & BC=BQ ആണെങ്കില്‍ സമചതുരം ABCD യുടെ പരപ്പളവ് എത്രയായിരിക്കും എന്ന് കണ്ടെത്താമോ? വരാപ്പുഴയില്‍ നിന്നും പി.എ ജോണ്‍ സാറാണ് ഇത്തരമൊരു ചോദ്യം ബ്ലോഗിലേക്ക് അയച്ചു തന്നത്. ഈ ചോദ്യത്തിന് എടപ്പലം PTMYHSS ലെ ഷെമി ഷാജി, കാസര്‍കോഡ് നീലേശ്വരത്തു നിന്നും SM Edathinal ല്‍ എന്നിവര്‍ ഉത്തരങ്ങള്‍ Comment ആയി രേഖപ്പെടുത്തിയിരുന്നു. അതു കൂടാതെ നിരവധി പേര്‍ ഇ-മെയില്‍ വഴിയും ഉത്തരങ്ങള്‍ അയച്ചു തന്നു. Comment ചെയ്യുന്നവര്‍ കഴിയുമെങ്കില്‍ പേരും സ്ക്കൂളിന്റെ പേരും രേഖപ്പെടുത്താന്‍ ശ്രദ്ധിക്കുമല്ലോ.

1)മട്ടത്രികോണം PAD യില്‍ A യില്‍ നിന്ന് PD യിലേക്ക് ലംബം AE വരക്കുക.
2)Bയില്‍ നിന്ന് CQ വിലേക്ക് ലംബം BF വരക്കുക.
3)സമചതുരത്തിന്റെ AC എന്ന വികര്‍ണവും BD എന്ന വികര്‍ണവും വരക്കുക
4)ഇപ്പോള്‍ ത്രികോണം PQR 9 ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിച്ചിരിക്കും
5)ത്രികോണങ്ങള്‍ സര്‍വസമമാകുന്ന വ്യവസ്ഥകള്‍ ഉചിതമായി ഉപയോഗിച്ചു കൊണ്ട് ഈ ത്രികോണങ്ങളെല്ലാം സര്‍വസമത്രികോണങ്ങളാണെന്ന് സ്ഥാപിക്കാം.
6)9 സര്‍വസമത്രികോണങ്ങളില്‍ നാലെണ്ണം ചേര്‍ന്നാണ് സമചതുരം ഉണ്ടാകുന്നത്. എങ്കില്‍ ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവിന്റെ 9 ല്‍ 4 ഭാഗമാണ് സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ്.
7)ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് K ആയതിനാല്‍ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് 4K/9 ആയിരിക്കും.


Click here to download the worksheet

Click here for the Kig File

ഭാസ്കരാചാര്യന്‍

സംസ്ഥാന സിലബസിലുള്ള സ്കൂളുകളിലെ ഈ മാസത്തെ പ്രധാന ഗണിതശാസ്ത്രക്ലബ്ബ് പ്രവര്‍ത്തനം 'ഭാസ്കരാചാര്യ സെമിനാര്‍'ആണല്ലോ?ഇത്തവണത്തെ വിഷയം യു.പി. വിഭാഗത്തിന് 'ഭാരതീയ ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ സംഭാവന'(Contributions of Indian astronomers) എന്നും ഹൈസ്കൂള്‍ വിഭാഗത്തിന് 'ജ്യോതിശാസ്ത്രവും ഗണിതവും' (Astronomy and Mathematics)എന്നുമാണ്.
ഭാസ്കരാചാര്യനെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു കുറിപ്പ് ആവശ്യപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത് മലപ്പുറം വണ്ടൂര്‍ ഗവ.ഹൈസ്കൂളിലെ ടി.പി.നൌഷാദലി മാഷാണ്.

ഭാസ്കരാചാര്യന്‍
ഭാരതീയ ഗണിതചിന്തകരില്‍ പ്രമുഖനാണ്‌ ഭാസ്കരാചാര്യന്‍ (Bhaskara I- A.D.1114). പ്രശസ്തനായ ഒരു ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞനും കൂടി ആയിരുന്നു അദ്ധേഹം. ഗണിത ജ്യോതിശാസ്ത്ര പഠനങ്ങളില്‍ ഉപമാസമ്പുഷ്ടങ്ങളായ കവിതാശകലങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്തതുവഴി പുതിയൊരു പാത വെട്ടിത്തെളിച്ച മഹാനാണദ്ദേഹം. കാളിദാസന്റെ കവിത്വമുള്ള ശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ എന്നാണ്‌ ഭാസ്കരാചാര്യന്‍ അറിയപ്പെടുന്നത്‌. ഇദ്ദേഹത്തോടുള്ള ആദരസൂചകമായിട്ടാണ് ഇന്ത്യ രണ്ടാമത് വിക്ഷേപിച്ച കൃത്രിമോപഗ്രഹത്തിന്‌ 'ഭാസ്കര' എന്ന പേര്‌ നല്‍കിയത്. സ്വന്തം പുസ്തകമായ 'സിദ്ധാന്തശിരോമണി'യില്‍ എഴുതിയിട്ടുള്ള വിവരങ്ങളേ അദ്ദേഹത്തക്കുറിച്ചറിയുകയുള്ളു. സിദ്ധാന്തശിരോമണിയില്‍ നിന്നാണ് അദ്ധേഹം ജനിച്ച വര്‍ഷം മനസ്സിലാക്കിയത്. അച്ഛന്‍ മഹേശ്വരന്‍ ഒരു ജ്യോതിശാസ്ത്രപണ്ഡിത(Astronomer)നായിരുന്നുവെന്നും, സഹ്യപര്‍വതത്തിന്റെ താഴ്വരയിലുള്ള 'വിജ്ജഡവിടം' ആണ്‌ തന്റെ സ്വദേശം എന്നും അദ്ദേഹം സിദ്ധാന്തശിരോമണിയിലെ ഗോളാദ്ധ്യായത്തില്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നു. വിജ്ജഡവിടം എവിടെയാണന്നതു സംബന്ധിച്ച്‌ ഇന്നും തര്‍ക്കം നിലനില്‍ക്കുന്നുവെങ്കിലും, മദ്ധ്യകേരളം മുതല്‍ മംഗലാപുരം വരെയുള്ള പ്രദേശത്തിനിടക്കെവിടെയോ ആണെന്നാണ്‌ പൊതുവേ കരുതുന്നത്‌. ഭാസ്കരാചാര്യന്റെ കൃതികള്‍ക്ക്‌ കേരളത്തിലുണ്ടായിരുന്ന വമ്പിച്ച പ്രചാരവും ഈ വിശ്വാസത്തിനു ശക്തി പകരുന്നു. 'ഗാണ്ഡില്യ ഗോത്രക്കാരനാണ്‌' താനെന്നും അദ്ദേഹം പ്രസ്താവിച്ചിരിക്കുന്നു
'
മഹാഭാസ്കരീയം', 'ലഘുഭാസ്കരീയം', 'ആര്യഭടീയഭാഷ്യം', 'സിദ്ധാന്തശിരോമണി', 'കരണകുതൂഹലം' തുടങ്ങിയവയാണ്‌ ഭാസ്കരാചാര്യന്റെ പ്രധാന കൃതികള്‍. 'മഹാഭാസ്കരീയം' ആര്യഭടന്റെ ആര്യഭടീയത്തിലെ മൂന്നാദ്ധ്യായങ്ങളുടെ വിസ്തരിച്ചുള്ള വ്യാഖ്യാനമാണ്‌. 'ലഘുഭാസ്കരീയ'മാകട്ടെ 'മഹാഭാസ്കരീയ'ത്തിന്റെ സംക്ഷിപ്തരൂപവും. വ്യാഖ്യാനങ്ങളാണെങ്കിലും സമ്പൂര്‍ണ്ണ കൃതികളുടെ നിലയും വിലയും ഈ പുസ്തകങ്ങള്‍ക്കുണ്ട്‌. വളരെ ലളിതമാണ്‌ പ്രതിപാദനരീതി. ഗോളശാസ്ത്രത്തില്‍ ആര്യഭടന്റെ ആശയങ്ങളെ വികസിപ്പിക്കുകയാണിവയില്‍ ചെയ്തിരിക്കുന്നത്‌
. 'ആര്യഭടീയഭാഷ്യ'മാകട്ടെ ആര്യഭടീയത്തിന്റെ സമ്പൂര്‍ണ്ണ വ്യാഖ്യാനവും. 'കരണകുതൂഹലം' ഗ്രഹചലനങ്ങളെ (Planetary motions)ആണ്‌ പ്രധാനമായും പഠിക്കുന്നത്‌. തന്റെ അറുപത്തൊമ്പതാം വയസിലാണ്‌ 'കരണകുതൂഹലം' രചിച്ചിരിക്കുന്നത്‌ എന്ന് അതില്‍ രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. 'സിദ്ധാന്തശിരോമണി'യിലെ ആദ്യഖണ്ഡമായ ലീലാവതിയില്‍, ബീജഗണിത (Geometry)ത്തില്‍ അന്നുവരെ വികസിച്ചിട്ടുള്ള ഗണിതവിജ്ഞാനം മുഴുവന്‍ ക്രോഡീകരിച്ചിരിക്കുന്നതായി കാണാം. മറ്റൊരദ്ധ്യായമായ ഗോളാദ്ധ്യായത്തില്‍ ഗോളതലക്ഷേത്രഗണിതവും (Spherical geometry)ഗ്രഹഗണിതസിദ്ധാന്തങ്ങളും പഠനവിധേയമാക്കുന്നു. ഗോളാദ്ധ്യായത്തിലെ പലപഠനങ്ങള്‍ക്കും ലിയോനാര്‍ഡോ ഡാവിഞ്ചിയുടെ കണ്ടെത്തലുകളുമായി സാദൃശ്യമുണ്ട്.
ഭാസ്കരാചാര്യന്റെ ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ നിരീക്ഷണങ്ങള്‍ ലീലാവതിയിലാണ്‌. ലീലാവതിയില്‍ എട്ടുതരം ഗണിതക്രിയകളെ പരാമര്‍ശിക്കുന്നു. പരികര്‍മ്മാഷ്ടകം എന്നാണ്‌ ആ ഭാഗത്തിന്റെ പേര്‌. അക്ബറുടെ ഭരണകാലത്ത്‌ ലീലാവതി പേര്‍ഷ്യന്‍ ഭാഷയിലേക്ക്‌ വിവര്‍ത്തനം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്‌. ലീലാവതി എന്ന സുന്ദരിക്ക്‌ ഗണിതവിജ്ഞാനം പകര്‍ന്നു കൊടുക്കുന്നു എന്ന മട്ടിലാണ്‌ ലേഖനരീതി. ലീലാവതിയുടെ അംഗലാവണ്യം പോലും ഗണിതരൂപത്തില്‍ വര്‍ണ്ണിക്കാന്‍ ഭാസ്കരാചാര്യന്‍ ശ്രദ്ധിച്ചിരുന്നു. ശാസ്ത്രമൂല്യങ്ങള്‍ക്കു പുറമേ കലാമൂല്യവും തുളുമ്പുന്നവയാണ്‌ ലീലാവതിയിലെ ശ്ലോകങ്ങളോരോന്നും. ഗഹനങ്ങളായ ശാസ്ത്രസത്യങ്ങളെ കാവ്യാത്മകമായി ചിത്രീകരിച്ച്‌ ലളിതമാക്കാനാണ്‌ ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ ശ്രമിച്ചത്‌. ലീലാവതിയിലെ ശ്ലോകങ്ങളുടെ ശക്തി മനസ്സിലാക്കിയ പാശ്ചാത്യര്‍ 'ഭാരതത്തിന്റെ യൂക്ലിഡ്' എന്ന് ഭാസ്കരാചാര്യനെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നു.

ലീലാവതിയിലെ ആശയങ്ങളുടെ രണ്ടുദാഹരണങ്ങള്‍ താഴെ കൊടുക്കുന്നു
.
1. ഒരു പൊയ്കയില്‍ കുറെ അരയന്നങ്ങളുണ്ട്‌. അവയുടെ വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ പകുതിയുടെ ഏഴുമടങ്ങ്‌ തീരത്ത്‌ കുണുങ്ങി നടക്കുന്നു. രണ്ട്‌ അരയന്നങ്ങള്‍ പ്രണയബദ്ധരായി സമീപത്തുണ്ട്‌, ആകെ എത്ര അരയന്നങ്ങളുണ്ട്‌?
ദ്വിമാന സമീകരണം (solution of quadratic equations)നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യാനുള്ള പ്രശ്നമാണിത്‌.
2. പതിനാറുകാരിയായ യുവതിക്ക്‌ മുപ്പത്തിരണ്ടു നാണയം ലഭിക്കുമെങ്കില്‍ ഇരുപതുകാരിക്ക്‌ എന്തു കിട്ടും? വിപരീതാനുപാതം (Inverse proportion) ആണിവിടെ പ്രതിപാദ്യം.

ഭാസ്കരവ്യാഖ്യാനങ്ങളില്‍ നാരായണ പണ്ഡിതന്‍ ലീലാവതിയെ ഉപജീവിച്ച്‌ എഴുതിയ 'ഗണിതകൗമുദി'യാണ്‌ ഏറ്റവും പ്രധാനം. കേരളീയരായ ഗോവിന്ദസ്വാമിയും, ശങ്കരനാരായണനും ഭാസ്കരഗ്രന്ഥങ്ങളുടെ പ്രധാന വ്യാഖ്യാതാക്കളാണ്‌. ഇന്നും പ്രസക്തിനഷ്ടപ്പെടാത്ത ഗണിതഗ്രന്ഥങ്ങളായ അവയെ പുതുതായി പഠിക്കുന്നവര്‍ ഏറെയുണ്ട്‌.ഓരോ ഗണിതാധ്യാപകരും വിദ്യാര്‍ഥികളും വായിച്ചിരിക്കേണ്ട ഒന്നാണ് അവയെന്ന് അഭിപ്രായപ്പെടുന്നവരും ഉണ്ട്! ഏതൊരു സംഖ്യയേയും പൂജ്യം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ഫലം അനന്തത (Infinity)യാണെന്നും, അനന്തസംഖ്യയെ ഏതു തരത്തില്‍ ഗണിച്ചാലും ഫലം അനന്തത തന്നെയായിരിക്കും എന്നും ഭാസ്കരന്‍ പഠിപ്പിച്ചു.ഭൂമി സ്വന്തം അച്ചുതണ്ടില്‍ കറങ്ങുന്നുവെന്ന് സമര്‍ഥിച്ച ആര്യഭടനോട് ആദ്യം ഭാസ്കരന്‍ യോജിച്ചില്ലെന്നും 'രാവിലെ കൂട്ടില്‍ നിന്നും ഇര തേടിയിറങ്ങിയ പക്ഷിക്ക് അങ്ങിനെയെങ്കില്‍ എങ്ങിനെ സ്വന്തം കൂട്ടില്‍ തിരിച്ചെത്താനാകു'മെന്ന് ചോദിച്ച് പരിഹസിച്ചതായും ഒരു കഥയുണ്ട്!

ഭാസ്കരാചാര്യരെക്കുറിച്ച് കൂടുതല്‍ അറിയുന്നവര്‍ കമന്റ് ചെയ്യുമല്ലോ?

2009 August: A special Month?

ഓണത്തിന്റെ ഉന്മേഷത്തോടെ ഇന്ന് ബ്ലോഗിന്റെ മെയില്‍ ബോക്സ് തുറന്നപ്പോള്‍ വളരെ രസകരമായ ഒരു മെയിലാണ് കണ്ടത്. ഈ മാസത്തിനു മാത്രം അവകാശപ്പെടാനാവുന്ന ഒരു രസകരമായ പ്രത്യേകതയെന്ന പേരില്‍ ജെല്‍സണ്‍ എന്ന അദ്ധ്യാപകനാണ് ഈ മെയില്‍ നമുക്ക് അയച്ചു തന്നിരിക്കുന്നത്.

2009 ലെ ആഗസ്റ്റ് മാസത്തിന് മറ്റു മാസങ്ങള്‍ക്കൊന്നും ലഭിക്കാത്ത അപൂര്‍വ്വമായ ഒരു ഭാഗ്യം സിദ്ധിച്ചിരിക്കുന്നുവത്രേ. കാരണം ഈ മാസം 5 ശനിയാഴ്ച്ചയും 5 ഞായറാഴ്ച്ചയും 5 തിങ്കളാഴ്ച്ചയും ഉണ്ടത്രേ. ഇതെല്ലാം കൂടി ഒരു മാസത്തില്‍ ഒത്തു വരണമെങ്കില്‍ 823 വര്‍ഷം കഴിയണമെന്നാണ് മെയിലില്‍ പറയുന്നത്.

പ്രിയപ്പെട്ട കുട്ടികളേ, ഒരു കൊച്ചു പ്രൊജക്ട് നിങ്ങള്‍ക്കു നല്‍കുകയാണ്. ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണോ? ഈ ആഗസ്റ്റ് മാസത്തില്‍ മേല്‍പ്പറഞ്ഞ വിധം 5 ശനിയാഴ്ച്ചയും 5 ഞായറാഴ്ച്ചയും 5 തിങ്കളാഴ്ച്ചയും ഉണ്ടെന്നുള്ളത് വാസ്തവം. പക്ഷെ ഇത് 823 വര്‍ഷം കഴിഞ്ഞാല്‍ മാത്രമേ സംഭവിക്കൂയെന്ന് പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത് ശരിയോ? ബ്ലോഗിലേക്ക് ഉത്തരം അയക്കുമല്ലോ. അദ്ധ്യാപകര്‍ക്കും കമന്റ് ചെയ്യാം.

2009 August: A special Month?

ഓണത്തിന്റെ ഉന്മേഷത്തോടെ ഇന്ന് ബ്ലോഗിന്റെ മെയില്‍ ബോക്സ് തുറന്നപ്പോള്‍ വളരെ രസകരമായ ഒരു മെയിലാണ് കണ്ടത്. ഈ മാസത്തിനു മാത്രം അവകാശപ്പെടാനാവുന്ന ഒരു രസകരമായ പ്രത്യേകതയെന്ന പേരില്‍ ജെല്‍സണ്‍ എന്ന അദ്ധ്യാപകനാണ് ഈ മെയില്‍ നമുക്ക് അയച്ചു തന്നിരിക്കുന്നത്.

2009 ലെ ആഗസ്റ്റ് മാസത്തിന് മറ്റു മാസങ്ങള്‍ക്കൊന്നും ലഭിക്കാത്ത അപൂര്‍വ്വമായ ഒരു ഭാഗ്യം സിദ്ധിച്ചിരിക്കുന്നുവത്രേ. കാരണം ഈ മാസം 5 ശനിയാഴ്ച്ചയും 5 ഞായറാഴ്ച്ചയും 5 തിങ്കളാഴ്ച്ചയും ഉണ്ടത്രേ. ഇതെല്ലാം കൂടി ഒരു മാസത്തില്‍ ഒത്തു വരണമെങ്കില്‍ 823 വര്‍ഷം കഴിയണമെന്നാണ് മെയിലില്‍ പറയുന്നത്.

പ്രിയപ്പെട്ട കുട്ടികളേ, ഒരു കൊച്ചു പ്രൊജക്ട് നിങ്ങള്‍ക്കു നല്‍കുകയാണ്. ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണോ? ഈ ആഗസ്റ്റ് മാസത്തില്‍ മേല്‍പ്പറഞ്ഞ വിധം 5 ശനിയാഴ്ച്ചയും 5 ഞായറാഴ്ച്ചയും 5 തിങ്കളാഴ്ച്ചയും ഉണ്ടെന്നുള്ളത് വാസ്തവം. പക്ഷെ ഇത് 823 വര്‍ഷം കഴിഞ്ഞാല്‍ മാത്രമേ സംഭവിക്കൂയെന്ന് പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത് ശരിയോ? ബ്ലോഗിലേക്ക് ഉത്തരം അയക്കുമല്ലോ. അദ്ധ്യാപകര്‍ക്കും കമന്റ് ചെയ്യാം.

ഒരു ചതുരത്തെ അതേ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരമാക്കി മാറ്റുന്നത്...

വരാപ്പുഴ എച്ച്.ഐ.ബി.എച്ച് എസിലെ ജോണ്‍ സാര്‍ നല്‍കിയ ഈ ചോദ്യം ഓര്‍മ്മയില്ലേ? ഇത് 5സെ.മീറ്റര്‍ നീളവും 2 സെ.മീറ്റര്‍ വീതിയുമുള്ള ഒരു ചതുരക്കടലാസിന്റെ പരപ്പളവ് (വിസ്തീര്‍ണം) 10 ച.സെ.മീ ആണല്ലോ? പരപ്പളവിന് മാറ്റം വരാതെ ഇത് പരമാവധി 4 തവണവരെ മുറിച്ചു കിട്ടുന്ന കഷണങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്തു വെച്ച് സമചതുരം രൂപീകരിക്കാമോയെന്നും ഗണിതപരമായി ഇതിന് ഉത്തരം കണ്ടെത്തണമെന്നുമായിരുന്നു ചോദ്യത്തില്‍ ആവശ്യപ്പെട്ടിരുന്നത്. അരുണ്‍ പവിത്രന്‍, അരിക്കുളം കെ.പി.​എം.എസ്.എം. എച്ച് എസിലെ രാഘവന്‍ സാര്‍ തുടങ്ങിയവരടക്കം നിരവധി പേര്‍ അതിന് ഉത്തരങ്ങള്‍ ചിത്രസഹിതം ഈ-മെയില്‍ രൂപത്തിലും കമന്റ് രൂപത്തിലും നേരിട്ടുമൊക്കെ ഉത്തരം നല്‍കി. ശരിയുത്തരം നല്‍കിയ എല്ലാവര്‍ക്കും അഭിനന്ദനങ്ങള്‍!!

ചോദ്യപേപ്പര്‍ നിര്‍മ്മാണത്തിലുള്‍പ്പടെയുള്ള പരിപാടികളില്‍ സജീവമായി പങ്കെടുക്കുന്നയാളാണ് ജോണ്‍സാര്‍. എട്ടാം ക്ലാസിലെ ചോദ്യങ്ങളെപ്പറ്റി യാതൊരു ധാരണയും ഭൂരിഭാഗം ഗണിതാദ്ധ്യാപകര്‍ക്കും ഉണ്ടാവണമെന്നില്ല. ഇതു കണക്കിലെടുത്തുകൊണ്ട് അദ്ദേഹത്തിന്റെ മനസ്സിലുള്ള ഒരു മോഡല്‍ ചോദ്യപേപ്പര്‍ കൂടി തയ്യാറാക്കി തരാന്‍ അദ്ദേഹത്തോട് അഭ്യര്‍ത്ഥിച്ചിട്ടുണ്ട്. എന്തായാലും ഉടനെ തന്നെ അദ്ദേഹത്തില്‍ നിന്നും ഒരു മോഡല്‍ ചോദ്യപേപ്പര്‍ നമുക്ക് പ്രതീക്ഷിക്കാം.

മുകളില്‍ കാണിച്ച ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരത്തിലേക്ക്

ഇപ്പോള്‍ നാല് പ്രാവശ്യം മുറിച്ചു. 5 കഷണങ്ങള്‍ കിട്ടി.

ഒരു 2X2 സമചതുരവും 4 സര്‍വ്വസമ മട്ട ത്രികോണങ്ങളും.

ഇവ സമചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റുമായി വെക്കുക

പരപ്പളവ് (വിസ്തീര്‍ണം) = √10 X √10 = 10 ച.സെ.മീ

എട്ടാം ക്ലാസിലെ സര്‍വ്വസമതയില്‍ നിന്നും ജോണ്‍ സാര്‍ തന്നെ മറ്റൊരു പ്രവര്‍ത്തനം നല്‍കിയിരിക്കുന്നു. ഇത് ലാബ് പ്രവര്‍ത്തനമായോ അസൈന്‍മെന്റ് ആയോ ചെയ്യാവുന്നതാണ്. അപ്പുവിന്റെ കയ്യില്‍ പ്രൊട്രാക്ടറോ കോമ്പസോ ഇല്ല. ഒരു സ്കെയില്‍ മാത്രമേ ഉള്ളു. അതുപയോഗിച്ച് അപ്പുവിന് ഒരു കോണിനെ സമഭാഗം ചെയ്യണം. അതിനുശേഷം അതിന്റെ പിന്നിലെ ഗണിതതത്ത്വങ്ങളും ജ്യാമിതീയ ചിന്തകളും വിശദീകരിക്കുകയും വേണം. ചുരുക്കത്തില്‍ ഒരു വര്‍ക്ക് ഷീറ്റ് രൂപപ്പെടുത്തുന്നതെങ്ങനെയെന്ന് ചോദ്യകര്‍ത്താവ് ചോദിക്കുന്നുമുണ്ട്. ഉത്തരം രണ്ടു ദിവസങ്ങള്‍ക്കകം... ഈ ദിവസങ്ങള്‍ക്കുള്ളില്‍ ഈ പ്രശ്നത്തിന് ഉത്തരം കണ്ടെത്താന്‍ ശ്രമിക്കുമല്ലോ.

ഒരു ചതുരത്തെ അതേ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരമാക്കി മാറ്റുന്നത്...

വരാപ്പുഴ എച്ച്.ഐ.ബി.എച്ച് എസിലെ ജോണ്‍ സാര്‍ നല്‍കിയ ഈ ചോദ്യം ഓര്‍മ്മയില്ലേ? ഇത് 5സെ.മീറ്റര്‍ നീളവും 2 സെ.മീറ്റര്‍ വീതിയുമുള്ള ഒരു ചതുരക്കടലാസിന്റെ പരപ്പളവ് (വിസ്തീര്‍ണം) 10 ച.സെ.മീ ആണല്ലോ? പരപ്പളവിന് മാറ്റം വരാതെ ഇത് പരമാവധി 4 തവണവരെ മുറിച്ചു കിട്ടുന്ന കഷണങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്തു വെച്ച് സമചതുരം രൂപീകരിക്കാമോയെന്നും ഗണിതപരമായി ഇതിന് ഉത്തരം കണ്ടെത്തണമെന്നുമായിരുന്നു ചോദ്യത്തില്‍ ആവശ്യപ്പെട്ടിരുന്നത്. അരുണ്‍ പവിത്രന്‍, അരിക്കുളം കെ.പി.​എം.എസ്.എം. എച്ച് എസിലെ രാഘവന്‍ സാര്‍ തുടങ്ങിയവരടക്കം നിരവധി പേര്‍ അതിന് ഉത്തരങ്ങള്‍ ചിത്രസഹിതം ഈ-മെയില്‍ രൂപത്തിലും കമന്റ് രൂപത്തിലും നേരിട്ടുമൊക്കെ ഉത്തരം നല്‍കി. ശരിയുത്തരം നല്‍കിയ എല്ലാവര്‍ക്കും അഭിനന്ദനങ്ങള്‍!!

ചോദ്യപേപ്പര്‍ നിര്‍മ്മാണത്തിലുള്‍പ്പടെയുള്ള പരിപാടികളില്‍ സജീവമായി പങ്കെടുക്കുന്നയാളാണ് ജോണ്‍സാര്‍. എട്ടാം ക്ലാസിലെ ചോദ്യങ്ങളെപ്പറ്റി യാതൊരു ധാരണയും ഭൂരിഭാഗം ഗണിതാദ്ധ്യാപകര്‍ക്കും ഉണ്ടാവണമെന്നില്ല. ഇതു കണക്കിലെടുത്തുകൊണ്ട് അദ്ദേഹത്തിന്റെ മനസ്സിലുള്ള ഒരു മോഡല്‍ ചോദ്യപേപ്പര്‍ കൂടി തയ്യാറാക്കി തരാന്‍ അദ്ദേഹത്തോട് അഭ്യര്‍ത്ഥിച്ചിട്ടുണ്ട്. എന്തായാലും ഉടനെ തന്നെ അദ്ദേഹത്തില്‍ നിന്നും ഒരു മോഡല്‍ ചോദ്യപേപ്പര്‍ നമുക്ക് പ്രതീക്ഷിക്കാം.

മുകളില്‍ കാണിച്ച ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരത്തിലേക്ക്

ഇപ്പോള്‍ നാല് പ്രാവശ്യം മുറിച്ചു. 5 കഷണങ്ങള്‍ കിട്ടി.

ഒരു 2X2 സമചതുരവും 4 സര്‍വ്വസമ മട്ട ത്രികോണങ്ങളും.

ഇവ സമചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റുമായി വെക്കുക

പരപ്പളവ് (വിസ്തീര്‍ണം) = √10 X √10 = 10 ച.സെ.മീ

എട്ടാം ക്ലാസിലെ സര്‍വ്വസമതയില്‍ നിന്നും ജോണ്‍ സാര്‍ തന്നെ മറ്റൊരു പ്രവര്‍ത്തനം നല്‍കിയിരിക്കുന്നു. ഇത് ലാബ് പ്രവര്‍ത്തനമായോ അസൈന്‍മെന്റ് ആയോ ചെയ്യാവുന്നതാണ്. അപ്പുവിന്റെ കയ്യില്‍ പ്രൊട്രാക്ടറോ കോമ്പസോ ഇല്ല. ഒരു സ്കെയില്‍ മാത്രമേ ഉള്ളു. അതുപയോഗിച്ച് അപ്പുവിന് ഒരു കോണിനെ സമഭാഗം ചെയ്യണം. അതിനുശേഷം അതിന്റെ പിന്നിലെ ഗണിതതത്ത്വങ്ങളും ജ്യാമിതീയ ചിന്തകളും വിശദീകരിക്കുകയും വേണം. ചുരുക്കത്തില്‍ ഒരു വര്‍ക്ക് ഷീറ്റ് രൂപപ്പെടുത്തുന്നതെങ്ങനെയെന്ന് ചോദ്യകര്‍ത്താവ് ചോദിക്കുന്നുമുണ്ട്. ഉത്തരം രണ്ടു ദിവസങ്ങള്‍ക്കകം... ഈ ദിവസങ്ങള്‍ക്കുള്ളില്‍ ഈ പ്രശ്നത്തിന് ഉത്തരം കണ്ടെത്താന്‍ ശ്രമിക്കുമല്ലോ.

തെളിയിക്കാമോ?

വടകര യിലെ ആരിക്കുളം KPMSMHS ലെ വിജയന്‍ സാര്‍ നമ്മുടെ ബ്ലോഗിലേക്ക് ഒരു ചോദ്യം അയച്ചു തന്നിരിക്കുന്നു. ഇതിന് ഉത്തരം കണ്ടു പിടിക്കാമോ? ഉത്തരം കമന്റ് ചെയ്യുകയോ പോസ്റ്റ് ചെയ്യുകയോ ആകാം.

തന്നിരിക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ വശം 'x”ആണ്. യഥാക്രമം A,B കേന്ദ്രങ്ങളായിട്ടുള്ള രണ്ടു ചാപങ്ങളാല്‍ നിര്‍മ്മിതമായിട്ടുള്ള ഒരു ചന്ദ്രക്കലയും ചിത്രത്തില്‍ കാണാം. A യുടെ ആരം 2 ന്റെ വര്‍ഗമൂലത്തിന്റേയും(Root 2) x ന്റേയും ഗുണനഫലവും Bയുടെ ആരം x ഉം ആണ്. സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണവും ചന്ദ്രക്കലയുടെ വിസ്തീര്‍ണവും തുല്യമാണെന്നു തെളിയിക്കുക

(prove it geometrically)

ഇത്തരത്തിലുള്ള വ്യത്യസ്തങ്ങളായ ചോദ്യങ്ങള്‍ നമ്മുടെ ചര്‍ച്ചയ്ക്കായി അയച്ചു തരുമല്ലോ. നമ്മുടെ വളര്‍ച്ചയ്ക്ക് അതേറെ സഹായിക്കും.

അയക്കേണ്ട വിലാസം: എഡിറ്റര്‍, ബ്ലോഗ് വിശേഷം, എടവനക്കാട് 682502, എറണാകുളം
mail us: mathsekm@gmail.com

തെളിയിക്കാമോ?

വടകര യിലെ ആരിക്കുളം KPMSMHS ലെ വിജയന്‍ സാര്‍ നമ്മുടെ ബ്ലോഗിലേക്ക് ഒരു ചോദ്യം അയച്ചു തന്നിരിക്കുന്നു. ഇതിന് ഉത്തരം കണ്ടു പിടിക്കാമോ? ഉത്തരം കമന്റ് ചെയ്യുകയോ പോസ്റ്റ് ചെയ്യുകയോ ആകാം.

തന്നിരിക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ വശം 'x”ആണ്. യഥാക്രമം A,B കേന്ദ്രങ്ങളായിട്ടുള്ള രണ്ടു ചാപങ്ങളാല്‍ നിര്‍മ്മിതമായിട്ടുള്ള ഒരു ചന്ദ്രക്കലയും ചിത്രത്തില്‍ കാണാം. A യുടെ ആരം 2 ന്റെ വര്‍ഗമൂലത്തിന്റേയും(Root 2) x ന്റേയും ഗുണനഫലവും Bയുടെ ആരം x ഉം ആണ്. സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണവും ചന്ദ്രക്കലയുടെ വിസ്തീര്‍ണവും തുല്യമാണെന്നു തെളിയിക്കുക

(prove it geometrically)

ഇത്തരത്തിലുള്ള വ്യത്യസ്തങ്ങളായ ചോദ്യങ്ങള്‍ നമ്മുടെ ചര്‍ച്ചയ്ക്കായി അയച്ചു തരുമല്ലോ. നമ്മുടെ വളര്‍ച്ചയ്ക്ക് അതേറെ സഹായിക്കും.

അയക്കേണ്ട വിലാസം: എഡിറ്റര്‍, ബ്ലോഗ് വിശേഷം, എടവനക്കാട് 682502, എറണാകുളം
mail us: mathsekm@gmail.com

ഒരു കൊച്ചു ചോദ്യം

എറണാകുളത്തു നിന്നും നീമ അംബ്രോസ് എന്ന പത്താം ക്ലാസ് വിദ്യാര്‍ത്ഥിനി ഒരു കൊച്ചു ചോദ്യം ഞങ്ങള്‍ക്കയച്ചു തന്നിരിക്കുന്നു. വിദ്യാര്‍ത്ഥികളും ഈ ബ്ലോഗിന്റെ സന്ദര്‍ശകരാണെന്നുള്ള സന്തോഷത്തോടെ ഈ ചോദ്യം അവര്‍ക്കു വേണ്ടി കൂടി നല്‍കുകയാണ്. ഉത്തരങ്ങള്‍ ആര്‍ക്കും മെയില്‍ ചെയ്യുകയോ കമന്‍റു ചെയ്യുകയോ ആവാം. ഉത്തരങ്ങള്‍ രണ്ടു ദിവസത്തിനകം പ്രസിദ്ധീകരിക്കും.

ABCD എന്ന ചക്രീയ ചതുര്‍ഭുജത്തില്‍ AB II DC ആണ്. കോണ്‍ B = 55⁰ ആയാല്‍ ചതുര്‍ഭുജത്തിലെ മറ്റു കോണുകള്‍ കണക്കാക്കുക. ഉത്തരങ്ങള്‍ അടുത്തയാഴ്ച ഇതേ ദിവസം പ്രസിദ്ധീകരിക്കും.

ഒരു കൊച്ചു ചോദ്യം

എറണാകുളത്തു നിന്നും നീമ അംബ്രോസ് എന്ന പത്താം ക്ലാസ് വിദ്യാര്‍ത്ഥിനി ഒരു കൊച്ചു ചോദ്യം ഞങ്ങള്‍ക്കയച്ചു തന്നിരിക്കുന്നു. വിദ്യാര്‍ത്ഥികളും ഈ ബ്ലോഗിന്റെ സന്ദര്‍ശകരാണെന്നുള്ള സന്തോഷത്തോടെ ഈ ചോദ്യം അവര്‍ക്കു വേണ്ടി കൂടി നല്‍കുകയാണ്. ഉത്തരങ്ങള്‍ ആര്‍ക്കും മെയില്‍ ചെയ്യുകയോ കമന്‍റു ചെയ്യുകയോ ആവാം. ഉത്തരങ്ങള്‍ രണ്ടു ദിവസത്തിനകം പ്രസിദ്ധീകരിക്കും.

ABCD എന്ന ചക്രീയ ചതുര്‍ഭുജത്തില്‍ AB II DC ആണ്. കോണ്‍ B = 55⁰ ആയാല്‍ ചതുര്‍ഭുജത്തിലെ മറ്റു കോണുകള്‍ കണക്കാക്കുക. ഉത്തരങ്ങള്‍ അടുത്തയാഴ്ച ഇതേ ദിവസം പ്രസിദ്ധീകരിക്കും.

ഒരു ചതുരത്തെ അതേ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരമാക്കി മാറ്റാമോ?

വരാപ്പുഴ എച്ച്.ഐ.ബി.എച്ച്.എസിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര അദ്ധ്യാപകനായ പി.എ ജോണ്‍ സാര്‍ നമ്മുടെ വായനക്കാര്‍ക്ക് വേണ്ടി ഒരു ചോദ്യം നമ്മുടെ പോസ്റ്റല്‍ വിലാസത്തില്‍ അയച്ചു തന്നിട്ടുണ്ട്. ഇന്ന് നമുക്കത് പങ്കു വെക്കാം. ഇതോടൊപ്പം തന്നെ ചരടിന്റെ നീളം കണ്ടെത്താമോ എന്ന ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരവും കൃത്യമായി തന്നെ വരച്ച് കണ്ടെത്തി അദ്ദേഹം നമുക്കയച്ചു തന്നിട്ടുണ്ട്. അദ്ദേഹത്തിന് അഭിനന്ദനങ്ങള്‍.

ഇത് 5സെ.മീറ്റര്‍ നീളവും 2 സെ.മീറ്റര്‍ വീതിയുമുള്ള ഒരു ചതുരക്കടലാസ് ആണ്. ഇതിന്റെ പരപ്പളവ് (വിസ്തീര്‍ണം) 10 ച.സെ.മീ ആണല്ലോ? ഇത് പരമാവധി 4 തവണവരെ മുറിക്കാം. ഇങ്ങനെ മുറിച്ചു കിട്ടുന്ന കഷണങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്തു വെച്ച് സമചതുരം രൂപീകരിക്കാമോ? പക്ഷെ പരപ്പളവിന് മാറ്റം വരുത്. അതായത് 10 ച.സെ.മീ വിസ്തീര്‍ണമുള്ള സമചതുരം തന്നെയായിരിക്കണം ചേര്‍ത്തു വെക്കുമ്പോള്‍ ലഭിക്കേണ്ടത്. ഉത്തരം ഗണിതപരമായി സമര്‍ഥിക്കുകയും വേണം.

ഈ ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരം ഞങ്ങളുടെ വിലാസത്തില്‍ അയച്ചു തരുമല്ലോ. ഒപ്പം ഇതു പോലുള്ള ചോദ്യങ്ങളും അയക്കാം. ഈ ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരം അടുത്തയാഴ്ച ഇതേ ദിവസം പ്രസിദ്ധീകരിക്കും. ഒപ്പം ശരിയുത്തരം അയച്ചവരുടെ പേരുകളും.

കത്തുകളയക്കേണ്ട വിലാസം : എഡിറ്റര്‍, ബ്ലോഗ് വിശേഷം, എടവനക്കാട്-682502, എറണാകുളം
ഇ-മെയില്‍ വിലാസം mathsekm@gmail.com

ഒരു ചതുരത്തെ അതേ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരമാക്കി മാറ്റാമോ?

വരാപ്പുഴ എച്ച്.ഐ.ബി.എച്ച്.എസിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര അദ്ധ്യാപകനായ പി.എ ജോണ്‍ സാര്‍ നമ്മുടെ വായനക്കാര്‍ക്ക് വേണ്ടി ഒരു ചോദ്യം നമ്മുടെ പോസ്റ്റല്‍ വിലാസത്തില്‍ അയച്ചു തന്നിട്ടുണ്ട്. ഇന്ന് നമുക്കത് പങ്കു വെക്കാം. ഇതോടൊപ്പം തന്നെ ചരടിന്റെ നീളം കണ്ടെത്താമോ എന്ന ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരവും കൃത്യമായി തന്നെ വരച്ച് കണ്ടെത്തി അദ്ദേഹം നമുക്കയച്ചു തന്നിട്ടുണ്ട്. അദ്ദേഹത്തിന് അഭിനന്ദനങ്ങള്‍.

ഇത് 5സെ.മീറ്റര്‍ നീളവും 2 സെ.മീറ്റര്‍ വീതിയുമുള്ള ഒരു ചതുരക്കടലാസ് ആണ്. ഇതിന്റെ പരപ്പളവ് (വിസ്തീര്‍ണം) 10 ച.സെ.മീ ആണല്ലോ? ഇത് പരമാവധി 4 തവണവരെ മുറിക്കാം. ഇങ്ങനെ മുറിച്ചു കിട്ടുന്ന കഷണങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്തു വെച്ച് സമചതുരം രൂപീകരിക്കാമോ? പക്ഷെ പരപ്പളവിന് മാറ്റം വരുത്. അതായത് 10 ച.സെ.മീ വിസ്തീര്‍ണമുള്ള സമചതുരം തന്നെയായിരിക്കണം ചേര്‍ത്തു വെക്കുമ്പോള്‍ ലഭിക്കേണ്ടത്. ഉത്തരം ഗണിതപരമായി സമര്‍ഥിക്കുകയും വേണം.

ഈ ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരം ഞങ്ങളുടെ വിലാസത്തില്‍ അയച്ചു തരുമല്ലോ. ഒപ്പം ഇതു പോലുള്ള ചോദ്യങ്ങളും അയക്കാം. ഈ ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരം അടുത്തയാഴ്ച ഇതേ ദിവസം പ്രസിദ്ധീകരിക്കും. ഒപ്പം ശരിയുത്തരം അയച്ചവരുടെ പേരുകളും.

കത്തുകളയക്കേണ്ട വിലാസം : എഡിറ്റര്‍, ബ്ലോഗ് വിശേഷം, എടവനക്കാട്-682502, എറണാകുളം
ഇ-മെയില്‍ വിലാസം mathsekm@gmail.com

ചരടിന്റെ നീളം...!!

ഇത്തരമൊരു ചോദ്യത്തിന് വായനക്കാരില്‍ നിന്നും നല്ല പ്രതികരണം തന്നെയാണ് ലഭിച്ചത്. ചിലര്‍ അതിന് കമന്റ്സിലൂടെയും ഇ-മെയിലൂടെയും ഉത്തരം നല്‍കി. GVHSS വട്ടനാടിലെ സി.ആര്‍ മുരളീധരന്‍ സാര്‍, ശ്രീജിത്ത് സാര്‍, അസീസി വിദ്യാനികേതനിലെ ആഷ്ലിന്‍,റെജി,രാഘവന്‍ സാര്‍ എന്നിവര്‍ക്ക് അഭിനന്ദനങ്ങള്‍. ചിലരാകട്ടെ ഫോണിലൂടെയും. ശരിയുത്തരം നല്‍കിയ എല്ലാവര്‍ക്കും അഭിനന്ദനങ്ങള്‍. തുടര്‍ന്നും കമന്റുകളുമായി രംഗത്തുണ്ടാകുമല്ലോ. ദിവസവും പോസ്റ്റുകള്‍ പ്രതീക്ഷിക്കുക. ഞങ്ങള്‍ കമന്റുകളും പ്രതീക്ഷിക്കും .... എന്തായാലും നമുക്കതിന്റെ ഉത്തരമൊന്നു പരിശോധിക്കാം.

ത്രികോ​ണം ABC 10 സെന്‍റീമീറ്റര്‍ വശമുള്ള സമഭുജത്രികോണമായിരിക്കുമല്ലോ.
കോണ്‍ EAF = 120 ഡിഗ്രി
അതുകൊണ്ട്, ചാപംEF ന്റെ ചാപനീളം= 2π​X5X(120/360)= 2πX5X(1/3)= 10π/3 (π=P)

EF ന്റെ ചാപനീളം + GH ന്റെ ചാപനീളം + DI യുടെ ചാപനീളം = 3X(10/3)π = 10X3.14 = 31.4
അതു പോലെ DE+FG+HI= 10+10+10 = 30

ഇനി രണ്ട് അളവുകളും തമ്മില്‍ കൂട്ടിയാല്‍ മതി. 31.4+30=61.4 സെമീ
അതായത് ചരടിന്റെ നീളം 61.4 സെന്റീമീറ്റര്‍ ആയിരിക്കും.
എല്ലാ ദിവസവും പല പല വിഷയങ്ങള്‍ നാം ചര്‍ച്ച ചെയ്യാറുണ്ടല്ലോ. ഇനി മുതല്‍ നിങ്ങളുടെ സൃഷ്ടികളും ബ്ലോഗില്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കും. വിദ്യാഭ്യാസ സംബന്ധമായ ഏത് വിഷയങ്ങളും ഇവിടെ പ്രസിദ്ധീകരിക്കും. രസകരങ്ങളായതും ഉത്തരം കിട്ടാത്തതുമായ പ്രശ്നങ്ങളെല്ലാം നമുക്കിവിടെ ചര്‍ച്ച ചെയ്യാം. പാഠപുസ്തകവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചോദ്യങ്ങളാകാം. സംശയങ്ങളാകാം. ലിനക്സ് വിഷയങ്ങളാകാം. ഓരോ വിഷയത്തിലും പ്രമുഖരും പ്രഗത്ഭരുമായ നിരവധി പേര്‍ നമ്മുടെ സംശയങ്ങള്‍ക്കു മറുപടി നല്‍കാനുണ്ട്. ബ്ലോഗ് പോസ്റ്റില്‍ സൂചിപ്പിക്കുന്നതിനായി കത്തില്‍ താങ്കളുടെ പേരും സ്ക്കൂളിന്റെ പേരും സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടാകുമല്ലോ. വിലാസം ചുവ​ടെ ചേര്‍ത്തിരിക്കുന്നു.
Send your articles to "Editor, Blog Vishesham, Edavanakad-682502, Ernakulam Dt"
or Mail to mathsekm@gmail.

ചരടിന്റെ നീളം...!!

ഇത്തരമൊരു ചോദ്യത്തിന് വായനക്കാരില്‍ നിന്നും നല്ല പ്രതികരണം തന്നെയാണ് ലഭിച്ചത്. ചിലര്‍ അതിന് കമന്റ്സിലൂടെയും ഇ-മെയിലൂടെയും ഉത്തരം നല്‍കി. GVHSS വട്ടനാടിലെ സി.ആര്‍ മുരളീധരന്‍ സാര്‍, ശ്രീജിത്ത് സാര്‍, അസീസി വിദ്യാനികേതനിലെ ആഷ്ലിന്‍,റെജി,രാഘവന്‍ സാര്‍ എന്നിവര്‍ക്ക് അഭിനന്ദനങ്ങള്‍. ചിലരാകട്ടെ ഫോണിലൂടെയും. ശരിയുത്തരം നല്‍കിയ എല്ലാവര്‍ക്കും അഭിനന്ദനങ്ങള്‍. തുടര്‍ന്നും കമന്റുകളുമായി രംഗത്തുണ്ടാകുമല്ലോ. ദിവസവും പോസ്റ്റുകള്‍ പ്രതീക്ഷിക്കുക. ഞങ്ങള്‍ കമന്റുകളും പ്രതീക്ഷിക്കും .... എന്തായാലും നമുക്കതിന്റെ ഉത്തരമൊന്നു പരിശോധിക്കാം.

ത്രികോ​ണം ABC 10 സെന്‍റീമീറ്റര്‍ വശമുള്ള സമഭുജത്രികോണമായിരിക്കുമല്ലോ.
കോണ്‍ EAF = 120 ഡിഗ്രി
അതുകൊണ്ട്, ചാപംEF ന്റെ ചാപനീളം= 2π​X5X(120/360)= 2πX5X(1/3)= 10π/3 (π=P)

EF ന്റെ ചാപനീളം + GH ന്റെ ചാപനീളം + DI യുടെ ചാപനീളം = 3X(10/3)π = 10X3.14 = 31.4
അതു പോലെ DE+FG+HI= 10+10+10 = 30

ഇനി രണ്ട് അളവുകളും തമ്മില്‍ കൂട്ടിയാല്‍ മതി. 31.4+30=61.4 സെമീ
അതായത് ചരടിന്റെ നീളം 61.4 സെന്റീമീറ്റര്‍ ആയിരിക്കും.
എല്ലാ ദിവസവും പല പല വിഷയങ്ങള്‍ നാം ചര്‍ച്ച ചെയ്യാറുണ്ടല്ലോ. ഇനി മുതല്‍ നിങ്ങളുടെ സൃഷ്ടികളും ബ്ലോഗില്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കും. വിദ്യാഭ്യാസ സംബന്ധമായ ഏത് വിഷയങ്ങളും ഇവിടെ പ്രസിദ്ധീകരിക്കും. രസകരങ്ങളായതും ഉത്തരം കിട്ടാത്തതുമായ പ്രശ്നങ്ങളെല്ലാം നമുക്കിവിടെ ചര്‍ച്ച ചെയ്യാം. പാഠപുസ്തകവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചോദ്യങ്ങളാകാം. സംശയങ്ങളാകാം. ലിനക്സ് വിഷയങ്ങളാകാം. ഓരോ വിഷയത്തിലും പ്രമുഖരും പ്രഗത്ഭരുമായ നിരവധി പേര്‍ നമ്മുടെ സംശയങ്ങള്‍ക്കു മറുപടി നല്‍കാനുണ്ട്. ബ്ലോഗ് പോസ്റ്റില്‍ സൂചിപ്പിക്കുന്നതിനായി കത്തില്‍ താങ്കളുടെ പേരും സ്ക്കൂളിന്റെ പേരും സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടാകുമല്ലോ. വിലാസം ചുവ​ടെ ചേര്‍ത്തിരിക്കുന്നു.
Send your articles to "Editor, Blog Vishesham, Edavanakad-682502, Ernakulam Dt"
or Mail to mathsekm@gmail.

ചിത്രത്തില്‍ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന പ്രശ്നത്തിന് ഉത്തരം കണ്ടെത്താമോ?

ഹൈസ്ക്കൂള്‍ വിദ്യാര്‍ത്ഥികള്‍ക്കും അദ്ധ്യാപകര്‍ക്കും വേണ്ടിയുള്ള ഒരു ഗണിതപ്രശ്നമാണ് നിങ്ങള്‍ക്കു മുന്നിലേക്ക് ഇന്ന് ഞങ്ങള്‍ അവതരിപ്പിക്കുന്നത്. അഞ്ച് സെന്റീമീറ്റര്‍ ആരമുള്ള മൂന്നു റിങ്ങുകളെ ഒരു ചരടുപയോഗിച്ച് കെട്ടിയിരിക്കുന്നു. റിങ്ങുകളെ കെട്ടാനുപയോഗിച്ച ചരടിന്റെ നീളമെന്താണെന്നാണ് നിങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തേണ്ടത്.
ഇതിനായി തികച്ചും ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ മാര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍ തന്നെയാണ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്. ഉത്തരങ്ങള്‍ നിങ്ങള്‍ക്ക് ഈ പോസ്റ്റിനു താഴെയുള്ള കമന്‍റ്സില്‍ രേഖപ്പെടുത്താം. എങ്ങനെ കമന്‍റു ചെയ്യാമെന്ന് വലതു വശത്തുള്ള ഗാഡ്ജറ്റുകളില്‍ സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്.

ഇത്തരത്തിലുള്ള ചോദ്യങ്ങള്‍ നിങ്ങള്‍ക്ക് ബ്ലോഗിലൂടെ ചോദിക്കാം. അതിനായി എഴുതി തയ്യാറാക്കിയ ആ ചോദ്യങ്ങള്‍ 'എഡിറ്റര്‍, ബ്ലോഗ് വിശേഷം, എടവനക്കാട്, 682502, എറണാകുളം' എന്ന വിലാസത്തില്‍ അയക്കാം.
അല്ലെങ്കില്‍ mathsekm@gmail.com എന്ന വിലാസത്തിലേക്ക് മെയില്‍ ചെയ്യാം.

ചിത്രത്തില്‍ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന പ്രശ്നത്തിന് ഉത്തരം കണ്ടെത്താമോ?

ഹൈസ്ക്കൂള്‍ വിദ്യാര്‍ത്ഥികള്‍ക്കും അദ്ധ്യാപകര്‍ക്കും വേണ്ടിയുള്ള ഒരു ഗണിതപ്രശ്നമാണ് നിങ്ങള്‍ക്കു മുന്നിലേക്ക് ഇന്ന് ഞങ്ങള്‍ അവതരിപ്പിക്കുന്നത്. അഞ്ച് സെന്റീമീറ്റര്‍ ആരമുള്ള മൂന്നു റിങ്ങുകളെ ഒരു ചരടുപയോഗിച്ച് കെട്ടിയിരിക്കുന്നു. റിങ്ങുകളെ കെട്ടാനുപയോഗിച്ച ചരടിന്റെ നീളമെന്താണെന്നാണ് നിങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തേണ്ടത്.
ഇതിനായി തികച്ചും ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ മാര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍ തന്നെയാണ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്. ഉത്തരങ്ങള്‍ നിങ്ങള്‍ക്ക് ഈ പോസ്റ്റിനു താഴെയുള്ള കമന്‍റ്സില്‍ രേഖപ്പെടുത്താം. എങ്ങനെ കമന്‍റു ചെയ്യാമെന്ന് വലതു വശത്തുള്ള ഗാഡ്ജറ്റുകളില്‍ സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്.

ഇത്തരത്തിലുള്ള ചോദ്യങ്ങള്‍ നിങ്ങള്‍ക്ക് ബ്ലോഗിലൂടെ ചോദിക്കാം. അതിനായി എഴുതി തയ്യാറാക്കിയ ആ ചോദ്യങ്ങള്‍ 'എഡിറ്റര്‍, ബ്ലോഗ് വിശേഷം, എടവനക്കാട്, 682502, എറണാകുളം' എന്ന വിലാസത്തില്‍ അയക്കാം.
അല്ലെങ്കില്‍ mathsekm@gmail.com എന്ന വിലാസത്തിലേക്ക് മെയില്‍ ചെയ്യാം.

ഒരു സമചതുരാകൃതിയിലുള്ള പേപ്പറിനെ എങ്ങനെ മൂന്നായി മടക്കാം?

കഴിഞ്ഞ ദിവസം സുനില്‍ പ്രഭാകര്‍ സാര്‍ ചോദിച്ച ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം കിട്ടിയോ? ഒരു സമചതുരപേപ്പറിനെ കൃത്യം മൂന്നാക്കി മടക്കാനാകുമോ എന്നായിരുന്നു ചോദ്യം. ആരും അതിന് ഉത്തരം പറഞ്ഞു കണ്ടില്ല. അതു കൊണ്ട് നമുക്ക് ആ പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഹാരത്തിലേക്ക് കടക്കാം. ഒരു സമചതുരപേപ്പറിനെ കൃത്യം രണ്ടാക്കി മടക്കി ഒരു വശത്ത് മാര്‍ക്ക് ചെയ്യുക. എന്നിട്ട് ആ വശത്തിന്റെ എതിര്‍ മൂലയെ ആ മാര്‍ക്കില്‍ മുട്ടിച്ച് മടക്കുക. അതിന്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള വശത്ത് എവിടെയാണോ ഈ മടക്കിയവശം മുട്ടുന്നത് അതായിരിക്കും കൃത്യം മൂന്നിലൊന്ന് ഭാഗം. അത്രയ്ക്ക് മനസ്സിലായില്ല അല്ലേ. താഴെയുള്ള ലിങ്കില്‍ ക്ലിക്ക് ചെയ്ത് നോക്കൂ.തീര്‍ന്നില്ല, ഇതിന്റെ പിന്നിലുള്ള ഗണിതം ആര്‍ക്കെങ്കിലും പറയാമോ?

Click here for the origami technic in Square paper

ശതം എന്ന വാക്കിന് അര്‍ത്ഥമറിയാമല്ലോ. നൂറ്. അപ്പോള്‍ മാനമോ? ഗണിതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് മാനത്തിന് ഉള്ള അര്‍ത്ഥം അളവ് എന്നാണ്. അപ്പോള്‍ ശതമാനം എന്നാല്‍ നൂറിനെ ആധാരമാക്കിയുള്ള അളവ് എന്നാണ്. അപ്പോള്‍ ശതമാനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു ചോദ്യം കൂടി. 200 ന്റെ 75 ശതമാനത്തിന്റെ 50 ശതമാനത്തിന്റെ 25 ശതമാനം എത്രയാണ്?

ഒരു സമചതുരാകൃതിയിലുള്ള പേപ്പറിനെ എങ്ങനെ മൂന്നായി മടക്കാം?

കഴിഞ്ഞ ദിവസം സുനില്‍ പ്രഭാകര്‍ സാര്‍ ചോദിച്ച ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം കിട്ടിയോ? ഒരു സമചതുരപേപ്പറിനെ കൃത്യം മൂന്നാക്കി മടക്കാനാകുമോ എന്നായിരുന്നു ചോദ്യം. ആരും അതിന് ഉത്തരം പറഞ്ഞു കണ്ടില്ല. അതു കൊണ്ട് നമുക്ക് ആ പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഹാരത്തിലേക്ക് കടക്കാം. ഒരു സമചതുരപേപ്പറിനെ കൃത്യം രണ്ടാക്കി മടക്കി ഒരു വശത്ത് മാര്‍ക്ക് ചെയ്യുക. എന്നിട്ട് ആ വശത്തിന്റെ എതിര്‍ മൂലയെ ആ മാര്‍ക്കില്‍ മുട്ടിച്ച് മടക്കുക. അതിന്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള വശത്ത് എവിടെയാണോ ഈ മടക്കിയവശം മുട്ടുന്നത് അതായിരിക്കും കൃത്യം മൂന്നിലൊന്ന് ഭാഗം. അത്രയ്ക്ക് മനസ്സിലായില്ല അല്ലേ. താഴെയുള്ള ലിങ്കില്‍ ക്ലിക്ക് ചെയ്ത് നോക്കൂ.തീര്‍ന്നില്ല, ഇതിന്റെ പിന്നിലുള്ള ഗണിതം ആര്‍ക്കെങ്കിലും പറയാമോ?

Click here for the origami technic in Square paper

ശതം എന്ന വാക്കിന് അര്‍ത്ഥമറിയാമല്ലോ. നൂറ്. അപ്പോള്‍ മാനമോ? ഗണിതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് മാനത്തിന് ഉള്ള അര്‍ത്ഥം അളവ് എന്നാണ്. അപ്പോള്‍ ശതമാനം എന്നാല്‍ നൂറിനെ ആധാരമാക്കിയുള്ള അളവ് എന്നാണ്. അപ്പോള്‍ ശതമാനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു ചോദ്യം കൂടി. 200 ന്റെ 75 ശതമാനത്തിന്റെ 50 ശതമാനത്തിന്റെ 25 ശതമാനം എത്രയാണ്?

പ്രശ്നം,....പരിഹാരമുണ്ടോ?

കഴിഞ്ഞ ദിവസം ആതിര എന്ന ഒരു പത്താം ക്ലാസ് വിദ്യാര്‍ത്ഥിനി ചിത്രത്തില്‍ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു പ്രശ്നവുമായി വന്നു. ആ കുട്ടി എത്ര ശ്രമിച്ചിട്ടും ഈ പ്രശ്നത്തിനൊരു പരിഹാരം കണ്ടെത്താനായില്ലത്രേ. ഞാനും ഒന്നു പരിശ്രമിച്ചെങ്കിലും എനിക്കും അതിനൊരു വഴി കണ്ടെത്താനായില്ല. ഒരു പേപ്പറില്‍ അവളോട് ഞാനാ ചോദ്യം എഴുതി വാങ്ങി. അതിങ്ങനെയായിരുന്നു.

ചിത്രത്തില്‍ AB അര്‍ദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസമാണ്. A യില്‍ കൂടിയുള്ള ഒരു രേഖ അര്‍ദ്ധവൃത്തത്തെ C യിലും B യില്‍ കൂടിയുള്ള ഒരു രേഖ അര്‍ദ്ധവൃത്തത്തെ D യിലും ഖണ്ഡിക്കുന്നു. ഈ രേഖകള്‍ E യില്‍ ഖണ്ഡിക്കുന്നു. (AC X AE) + (BD X BE) = (AB)2 എന്നു തെളിയിക്കുക

കേരളത്തിലെ നിരവധി പ്രഗത്ഭരായ അദ്ധ്യാപകരുടെ പങ്കാളിത്തവും പിന്തുണയും ഉള്ള ഈ ബ്ലോഗിലൂടെ ഞാന്‍ ഈ പ്രശ്നം സമര്‍പ്പിക്കുകയാണ്. ഈ പ്രശ്നത്തിന് ഒരു പരിഹാരം ഉണ്ടോ? അതോ, ചോദ്യം പ്രശ്നമാണോ? ഉത്തരത്തിനായി കാത്തിരിക്കുന്നു. Comment ചെയ്യുക.
പോസ്റ്റിനു താഴെയുള്ള Comments ല്‍ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുമ്പോള്‍ വരുന്ന വെളുത്ത പ്രതലത്തില്‍ ഉത്തരം Type ചെയ്യാം. Comment as എന്ന ബോക്സില്‍ നിന്നും Anonymous തെരഞ്ഞെടുത്ത് Enter ചെയ്യുക. പ്രതികരണങ്ങളില്‍ പേരും സ്ക്കൂളും ജില്ലയും ചേര്‍ക്കുമല്ലോ