A സീരിസിലുള്ള പേപ്പറുകളുടെ കഥ

A4 വലിപ്പത്തിലുള്ള പേപ്പറിനെ നമുക്കേറെ പരിചയമുണ്ടാകുമല്ലോ. സാധാരണനിലയില്‍ ഫോട്ടോസ്റ്റാറ്റ് എടുക്കാനുപയോഗിക്കുന്നത് A4 എന്നപേരിലറിയപ്പെടുന്ന ഈ പേപ്പറാണ്. പക്ഷെ നാമതിന്റെ പരപ്പളവിനെപ്പറ്റിയോ (Area)വശങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള അനുപാതത്തെപ്പറ്റിയോ (Ratio)ഒരു പക്ഷെ ചിന്തിച്ചിട്ടു പോലുമുണ്ടാകണമെന്നില്ല. ഇതാ കേട്ടോളൂ, A4 വലിപ്പത്തിലുള്ള പേപ്പറിന്റെ പരപ്പളവ് അഥവാ വിസ്തീര്‍ണം 1/16 meter² ആണ്. വശങ്ങളുടെ അനുപാതമാകട്ടെ 1 :√2 ഉം. കടലാസുകളുടെ വലിപ്പത്തെപ്പറ്റിയുള്ള ഒരു പഠനം നമ്മുടെ കുട്ടികള്‍ക്ക് അനുപാതത്തെപ്പറ്റി കൂടുതല്‍ മനസ്സിലാക്കാന്‍ ഉപകരിക്കുമെന്ന് തോന്നുന്നില്ല? ഇതിനെപ്പറ്റി വടകര കെ.പി.എസ്.എം.എച്ച്.എസിലെ N.M വിജയന്‍ മാഷ് എഴുതി അയച്ചു തന്ന ലേഖനത്തിലൂടെ നമുക്ക് കണ്ണോടിക്കാം.

A സീരിസ്, B സീരിസ്, C സീരിസ് എന്നിങ്ങനെ പേപ്പറുകള്‍ക്ക് പല അംഗീകൃതവലിപ്പങ്ങളുമുണ്ട്. ഇതില്‍ A സീരീസിനെക്കുറിച്ചാകാം ചര്‍ച്ച. മേല്‍പ്പറഞ്ഞ എല്ലാ സീരിസുകള്‍ക്കും രാജ്യാന്തരതലത്തില്‍ ഒരു ഏകമാനസ്വഭാവമുണ്ട്. A0,A1,A2,A3...A10 എന്നെല്ലാം അറിയപ്പെടുന്നത് ഇതില്‍ A സീരിസില്‍​പ്പെട്ട പേപ്പറുകളാണ്. മേല്‍പ്പറഞ്ഞ ഏകമാനം എന്നുദ്ദേശിച്ചത് മനസ്സിലായില്ലായെന്നുണ്ടോ? ഉദാഹരണം പറയാം. അതായത് ഇന്ത്യയില്‍ നിന്ന് വാങ്ങുന്ന A4 സൈസ് പേപ്പറിനും അമേരിക്കയില്‍ നിന്നോ ദുബായിയില്‍ നിന്നോ വാങ്ങുന്ന A4 സൈസ് പേപ്പറിനും ഒരേ വലിപ്പമായിരിക്കും എന്നു സാരം.

A സീരിസില്‍​പ്പെട്ട പേപ്പറുകളുടെ വലിപ്പം ഒരു ചതുരശ്രമീറ്റര്‍ വിസ്തീര്‍ണമുള്ള “A0” എന്ന പേരില്‍ അറിയപ്പെടുന്ന പേപ്പറിനെ ആധാരമാക്കിയാണ് പറയുന്നത്. A0 പേപ്പറിന്റെ നീളം 1189 മില്ലീമീറ്ററും വീതി 841 മില്ലീമീറ്ററുമാണ്. വിസ്തീര്‍ണം കണ്ടു പിടിച്ചു നോക്കൂ. ഉത്തരം ഏതാണ്ട് പത്തുലക്ഷം (1000000) ചതുരശ്രമില്ലീമീറ്ററിന് അടുത്തു വന്നില്ലേ? ഇതുതന്നെയല്ലേ ഒരു ചതുരശ്രമീറ്റര്‍ വിസ്തീര്‍ണം? വശങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം നോക്കൂ. 841 : 1189. ഇതിന്റെ ലഘുരൂപം 1 :√2 അല്ലേ?

A1 പേപ്പര്‍ എന്നത് A0 യുടെ നേര്‍പകുതി വിസ്തീര്‍ണമുള്ള പേപ്പറാണ്. അതായത് 500000 ചതുരശ്രമില്ലീമീറ്റര്‍. നീളവും വീതിയും തമ്മില്‍ ഗുണിച്ചു നോക്കൂ. 594*841 = 499554ചതുരശ്രമില്ലീമീറ്റര്‍. അല്ലേ? ഇവിടെയും വശങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം 1 : √2 എന്നത് കൃത്യമായി പാലിക്കപ്പെട്ടിരിക്കും.

ചുരുക്കത്തില്‍ A1 ന്റെ പകുതിവിസ്തീര്‍ണമുള്ള പേപ്പറാണ് A2 എന്നും അതിന്റെ വിസ്തീര്‍ണത്തിന്റെ പകുതിയാണ് A3ക്കെന്നും അതിന്റെ പകുതിയാണ് A4 നെന്നും നമുക്ക് മനസ്സിലാക്കാം. ഒരു പഠനപ്രവര്‍ത്തനമായിട്ടാണ് ഇത് ചെയ്യാനാഗ്രഹിക്കുന്നതെങ്കില്‍ A സീരിസിലെ A0 മുതല്‍ A10 വരെയുള്ള പേപ്പറുകള്‍ കുട്ടികള്‍ക്ക് നല്‍കി അവരെയത് സ്വയം ബോധ്യപ്പെടാന്‍ അനുവദിക്കാം. അതോടൊപ്പം A സീരിസിലെ ഏതു വലിപ്പത്തിലുള്ള പേപ്പറുകളുടെ വശങ്ങളുടെ അംശബന്ധം 1 : √2 ആയിരിക്കുമെന്ന് അവര്‍ കണ്ടെത്തട്ടെ.

താഴെ A സീരിസിലുള്ള പേപ്പറുകളുടെ നീളവും വീതിയും മില്ലീമീറ്ററില്‍ നല്‍കിയിരിക്കുന്നു.

ബീജഗണിതത്തിന്റെ പിതാവാരാണ്?

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ പിതാവ് 'റെനെ ഡെക്കാര്‍ത്തെ', ജ്യാമിതിയുടെ പിതാവ് 'യൂക്ളിഡ്', എന്നാല്‍ ബീജഗണിതത്തിന്റെ പിതാവാരാണ്?
എട്ടാം ക്ലാസ്സിലെ ഈ ടേമിലെ അവസാന അദ്ധ്യായം 'ബീജഗണിതം'('Algebra') ആണല്ലോ? ഇത്തരുണത്തില്‍ 'ബീജഗണിതത്തിന്റെ പിതാവെ'ന്നറിയപ്പെടുന്ന (The Father of Algebra) അല്‍-ഖവാരിസ്മി എന്ന അറബിഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനെക്കുറിച്ചാകട്ടെ ഒരല്പം വിവരങ്ങള്‍....

'അബു ജാഫര്‍ മുഹമ്മദ് ഇബ്​നു മൂസാ അല്‍-ഖവാരിസ്മി' (Aboo Jaffar Muhammed Ibn Moosa Al-Khavarizmi )ബാഗ്ദാദില്‍ ഒന്‍പതാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ തുടക്കത്തില്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതിഭയായിരുന്നു.ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ ജനനം AD 786 ലാണെന്നാണ് കരുതപ്പെടുന്നത്. അല്‍ഗോരിതം എന്ന വാക്കുണ്ടായതുതന്നെ അദ്ദേഹത്തിന്റെ പേരില്‍ നിന്നാണ്.

അബ്ബാസിയ്യ ഖലീഫമാരുടെ ആ കാലഘട്ടം അറബിക് ശാസ്ത്രത്തിന്റേയും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റേയും സുവര്‍ണ്ണകാലമായിട്ടാണ് അറിയപ്പെടുന്നത്. തന്റെ പിതാവായ ഹാറൂണ്‍ അല്‍ റഷീദിന്റെ പാത പീന്‍തുടര്‍ന്ന് ഖലീഫ അല്‍-മാമൂന്‍ (AD 813-AD 833),ബാഗ്ദാദിലെ പണ്ഠിതസദസ്സിനെ (House of Wisdom) ഇന്തോ-ഗ്രീക്ക് പുരാതന ഗണിത ചിന്തകളുടെ ചര്‍ച്ചാവേദിയാക്കി മാറ്റി. അല്‍-ഖവാരിസ്മിയും അദ്ദേഹത്തിന്റെ സഹപണ്ഠിതരും ഖലീഫയുടെ ആശീര്‍വാദത്തോടെ ഇന്തോ-ഗ്രീക്ക് ഗ്രന്ഥങ്ങളുടെ വിവര്‍ത്തനങ്ങളിലും ഗണിതപഠനങ്ങളിലും മുഴുകി.'ഹിസാബ് അല്‍ ജബര്‍ വല്‍ മുഖബ്ബല' (The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing) എന്ന അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ കൃതിയുടെ പേരില്‍ നിന്നാണ് 'ആല്‍ജിബ്ര' (Algebra)എന്ന പേര്‍ വന്നതുതന്നെ! അല്‍ ജബര്‍ എന്നതിനര്‍ഥം 'പൂര്‍ണ്ണത' (Completion)
എന്നും മുഖബ്ബല എന്നാല്‍ 'തുലനം' (Balancing) എന്നുമാണര്‍ഥം. ഈ വിഷയസംബന്ധമായി ആദ്യമായെഴുതപ്പെട്ട പൂര്‍ണ്ണഗ്രന്ഥമായാണിത് കണക്കാക്കപ്പെടുന്നത്. അതിനാലാകണം അദ്ദേഹം 'ബീജഗണിതത്തിന്റെ പിതാവ്' (The Father of Algebra)എന്നറിയപ്പെടുന്നത്.

പ്രായോഗിക ഗണിതത്തിന്റെ വിവരണങ്ങളുള്‍ക്കൊള്ളുന്ന ഈ പുസ്തകത്തില്‍ ഒന്നും രണ്ടും കൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ നിര്‍ദ്ധാരണങ്ങളില്‍ തുടങ്ങി പ്രായോഗീക പ്രശ്നങ്ങളുടെ നിര്‍ദ്ധാരണങ്ങളിലേക്കെത്തുന്ന ഒരു രീതിയാണ് സ്വീകരിച്ചിട്ടുള്ളത്.
ഖവാരിസ്മിയുടെ പുസ്തകങ്ങളിലൊന്നും തന്നെ ഗണിതചിഹ്നങ്ങളോ (Symbols)ചരങ്ങളോ (Variables)ഉപയോഗിച്ചിട്ടില്ലെന്നതാണ് ഏറെ ആശ്ചര്യകരം!

ഇന്‍ഡോ-അറബിക് അക്കങ്ങളെക്കുറിച്ച് അദ്ദേഹമെഴുതിയ അറബി മൂലഗ്രന്ഥം നഷ്ടപ്പെട്ടുപോയെങ്കിലും അതിന്റെ ലാറ്റിന്‍ വിവര്‍ത്തനം 'Algoritmi de numero Indorum' എന്ന പേരിലും, ഇംഗ്ലീഷ് വിവര്‍ത്തനം 'Al-Khwarizmi on the Hindu Art of Reckoning'എന്ന പേരിലും നിലവിലുണ്ട്. ഈ വിവര്‍ത്തനങ്ങളില്‍ നിന്നാകണം യൂറോപ്പില്‍ അറബിക് ന്യൂമെറല്‍സെന്നു വിളിക്കുന്ന ഇന്ത്യന്‍ ന്യൂമെറല്‍ സിസ്റ്റം പ്രചാരത്തിലായത്!

ഏതാണ്ട് 2400 സ്ഥലങ്ങളുടെ ലാറ്റിറ്റ്യൂഡും ലോഞ്ജിറ്റ്യൂഡും കണക്കാക്കുന്നതും ആസ്ട്രോലാബ്, സണ്‍ഡയല്‍, കലണ്ടര്‍ എന്നിവ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നതുമായ ഒരു പ്രധാന വര്‍ക്കും അദ്ദേഹത്തിന്റേതായുണ്ട്. പ്രശസ്തരായ പല വ്യക്തികളുടേയും ജാതകക്കുറിപ്പുകളുള്‍ക്കൊള്ളുന്ന മറ്റൊരു പുസ്തകവും അദ്ദേഹം എഴുതിയിട്ടുണ്ട്. എ.ഡി. 850 നോടടുത്താണ് അദ്ദേഹം മരണപ്പെട്ടതെന്നു കരുതപ്പെടുന്നു.

പൊന്നുങ്കുടത്തിനൊരു പൊട്ട് !

മാതൃഭൂമി ആഴ്ചപ്പതിപ്പിലെ 'ചോക്കുപൊടി' എന്ന സ്ഥിരം പംക്തി കണ്ടിട്ടില്ലേ? അധ്യാപകര്‍ക്ക് അവരുടെ അവിസ്മരണീയ അനുഭവങ്ങള്‍ പങ്കുവെയ്കുവാനുള്ള ഒരു വേദിയാണത്. അതുപോലൊന്ന് നമുക്കുമായാലെന്താ..?ബ്ലോഗ് ടീമിലെ നിസാര്‍ മാഷ്, അദ്ദേഹത്തിന് കഴിഞ്ഞദിവസമുണ്ടായ ഒരു ക്ലാസ്സ്റൂം അനുഭവം വിവരിക്കുകയാണ് താഴെ . ഇതിനേക്കാള്‍ മികച്ച അനുഭവങ്ങള്‍ തീര്‍ച്ചയായും നിങ്ങളുടെ മനസ്സിലേക്കുവരും!മടിക്കാതെ മെയില്‍ ചെയ്യുകയോ, തപാലില്‍ അയക്കുകയോ ചെയ്യുക.ആഴ്ചയില്‍ ഒന്നു വീതമെങ്കിലും പ്രസിദ്ധീകരിക്കണമെന്നാണാഗ്രഹം. ഇമെയില്‍ : mathsekm@gmail.com പോസ്റ്റല്‍ വിലാസം : എഡിറ്റര്‍, ബ്ലോഗ് വിശേഷം, എടവനക്കാട് ,എറണാകുളം 682502 .
ഇനി വായിച്ചോളൂ...

.......................................................................................................................................

'പൊട്ടക്കുട'ത്തിനൊരു പൊട്ട്!

എട്ടാം ക്ലാസ്സ് സി ഡിവിഷനിലേക്ക് കഴിഞ്ഞ ദിവസം എട്ടാമത്തെ പിരീഡ് കയറിച്ചെന്നത് 'പണവിനിമയം' എന്ന യൂണിറ്റിന്റെ അവസാന ഭാഗം എടുത്തുതീര്‍ക്കാമെന്നു കരുതിയാണ്. A=P(1+r/100)ⁿ എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചു മറ്റു ചില പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങളുടെ നിര്‍ദ്ധാരണമാണ് വിഷയം. ജനസംഖ്യ ഒരു നിശ്ചിത ശതമാനം വര്‍ദ്ധിച്ചു കൊണ്ടിരുന്നാല്‍ കുറച്ചു വര്‍ഷങ്ങള്‍ക്കുശേഷം അതെത്രയായി വര്‍ദ്ധിക്കുമെന്നുകാണാന്‍ ഈ സൂത്രവാക്യം ഉപകാരപ്രദമാണെന്നു കാണിക്കാനായി പതിവുപോലെ കഥ തുടങ്ങി. ആസ്ത്രേലിയയിലുള്ള ഒരു കൊച്ചു ദ്വീപിലെ ഇപ്പോഴത്തെ ജനസംഖ്യ ഏകദേശം രണ്ടായിരമാണെന്നും, എന്നാല്‍ പ്രതിവര്‍ഷം നാലുശതമാനം വെച്ചു വര്‍ദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുകയാണെന്നും പറഞ്ഞുവെച്ചു. രണ്ടുവര്‍ഷത്തിനു ശേഷം അവിടുത്തെ ജനസംഖ്യ എത്രയായിരിക്കുമെന്നു കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിലൂടെ ഈ സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ ഉപയോഗം അവതരിപ്പിക്കാമെന്നായിരുന്നു കണക്കു കൂട്ടല്‍. രണ്ടായിരം പേര്‍ തന്നെ തിങ്ങി താമസിക്കുന്നതിനാല്‍ ഇനിയൊരു കാര്യമായ വര്‍ദ്ധനവ് താങ്ങാന്‍ അവര്‍ക്കാവില്ലെന്നും വെച്ചുകാച്ചി!

'വിശ്വമാനവന്‍ ' എന്ന സങ്കല്പം രൂപപ്പെടുത്തിയെടുക്കാന്‍ പറ്റിയ സന്ദര്‍ഭം ഉരുത്തിരിയുന്നത് ഉള്‍പുളകത്തോടെ മനസ്സിലാക്കിയതോടെ ജനസംഖ്യാവര്‍ദ്ധനവിന്റെ കാരണങ്ങളിലേക്കായി ചര്‍ച്ചയുടെ പോക്ക്. 'ലോക മുത്തച്ഛന്‍ മുത്തശ്ശി ദിനം' കഴിഞ്ഞുള്ള തൊട്ടടുത്ത ദിനങ്ങളിലൊന്നായതിനാല്‍ 'ജനനനിയന്ത്രണ'ത്തേക്കാള്‍ 'കുറഞ്ഞ മരണനിരക്കി'ന് ചര്‍ച്ചയില്‍ പ്രാമുഖ്യം കൈവന്നത് സ്വാഭാവികം. എണ്‍പതും തൊണ്ണൂറും വയസ്സായ അപ്പൂപ്പന്‍മാരും അമ്മൂമ്മമാരും ചുറുചുറുക്കോടെ പൂലിപോലെ ഓടിനടക്കുകയാണവിടെയെന്നു പറഞ്ഞുതീര്‍ന്നതും ക്ലാസ്സില്‍ കൂട്ടച്ചിരിയുയര്‍ന്നു.ക്ലാസ്സിലെ പതിവ് കുസൃതിയായ അനൂപിന്റെ കമന്റാണ് ചിരിയുണര്‍ത്തിയത്. "വയസ്സന്‍മാരെയൊക്കെയങ്ങ് തട്ടിക്കളഞ്ഞാല്‍ പോരേ?"
ചിരിയില്‍ പതിവുപോലെ പങ്കുചേരാന്‍ ഞാന്‍ കൂട്ടാക്കാഞ്ഞതിനാലാകണം അതിന് അധികം ആയുസ്സില്ലാതെ പോയത്.
ദൈവമേ, പുതിയ തലമുറയുടെ വയസ്സരോടുള്ള മനോഭാവം ഇങ്ങനെയൊക്കെയാണോ?

വീണ്ടും 'വിശ്വമാനവന്‍!'വിട്ടുകളയാന്‍ പറ്റില്ലല്ലോ? തകഴിയുടെ 'തഹസില്‍ദാരുടെ അച്ഛനും' പേരോര്‍ക്കാത്ത മറ്റുചില കഥകളും ഓര്‍മ്മയിലേക്ക് തികട്ടിവരാന്‍ തുടങ്ങി. അവയൊക്കെ അരിഞ്ഞിട്ട ഒരവിയല്‍ കഥയിലൂടെ ക്ലാസ്സ് നീങ്ങാന്‍ തുടങ്ങി....
വേലായുധന്‍ ചേട്ടന് വേലികെട്ടാണ് ജോലി. തന്റെ ചെറ്റപ്പുരയില്‍ ഒരുവശം തളര്‍ന്നുകിടക്കുന്ന ഭാര്യ മീനാക്ഷിക്കും ഏകമകന്‍ നാലാം ക്ലാസ്സുകാരന്‍ പ്രകാശനുമൊപ്പം അരിഷ്ടിച്ചുള്ള ജീവിതം. കിട്ടുന്ന കൂലിയില്‍ പാതിയും മീനാക്ഷിക്കുള്ള മരുന്നുകളും കുഴമ്പുകളുമായി തീരും. ഒരു നേരത്തെ കഞ്ഞിയിലൊതുങ്ങുന്ന പ്രകാശന്റെ ബാല്യത്തിലെ രുചികരമായ ഓര്‍മ്മ എന്നും വൈകീട്ട് അച്ഛന്റെ മുണ്ടിന്‍കോന്തലയില്‍ കടലാസുപൊതിയിലൊളിപ്പിച്ച എണ്ണമയമുള്ള സ്നേഹംവഴിയുന്ന പഴംപൊരി, അല്ലെങ്കില്‍ ഉഴുന്നുവടയായിരുന്നു.മുണ്ടുമുറുക്കിയുടുത്ത് വിശപ്പിനെ തോല്പിക്കുമ്പോഴും മകന്റെ വയറെപ്പോഴും നിറഞ്ഞിരിക്കണമെന്ന് വാശിയുള്ള സ്നേഹനിധിയായ അച്ഛന്‍!

ക്ലാസ്സ് പതുക്കെ കഥയില്‍ ലയിച്ചു തുടങ്ങി. കഥയുടെ രണ്ടാം ഭാഗത്തിലേക്ക് കടന്നു.

ഇന്ന്, പ്രകാശന്‍ സിവില്‍ സപ്ലൈസ് വകുപ്പിലെ ഒരു ഗുമസ്തന്‍. ഉദ്യോഗസ്ഥയായ ഭാര്യ സുജാതയ്കും ഏകമകന്‍ എല്‍.കെ.ജിക്കാരന്‍ അരുണിനുമൊപ്പം പുതിയ വീട്ടില്‍ സുഖവാസം. ക്ഷയരോഗിയായ അച്ഛന്‍ വേലായുധന് എണ്‍പതുകഴിഞ്ഞു. കണ്ണിനും കാതിനും വേണ്ടത്ര സൂക്ഷ്മത പോരാ. ചുക്കിച്ചുളിഞ്ഞ ഒരു വികൃത രൂപം! വീട്ടില്‍ വരുന്ന തന്റെ സഹപ്രവര്‍ത്തകരില്‍ നിന്നും അത് മറയ്കാന്‍ പ്രകാശന്‍ കണ്ടെത്തിയ മാര്‍ഗ്ഗം അച്ഛനെ വിറകുപുരയുടെ മൂലയില്‍ കീറപ്പായയില്‍ തളയ്കുകയായിരുന്നു. ഞളുങ്ങിയ ഒരു അലൂമിനിയപ്പാത്രത്തില്‍ കഞ്ഞി രണ്ടുനേരം സുജാത കൃത്യമായി വിറകുപുരയുടെ തറയിലൂടെ നിരക്കിനീക്കാറുണ്ടായിരുന്നു. ഒരുദിവസം കഞ്ഞിപ്പാത്രം തിരികെയെടുക്കാനാഞ്ഞ സുജാതയുടെ ആനന്ദാശ്രുക്കളോടെയുള്ള നിലവിളിയായി വേലികെട്ടുകാരന്‍ വേലായുധന്‍ എരിഞ്ഞടങ്ങി.

ക്ളാസ്സ് പരിപൂര്‍ണ്ണ നിശബ്ധം. കുട്ടികളുടെ കണ്ണുകളില്‍ വേലായുധനപ്പൂപ്പന്റെ ദൈന്യതയുടെ തിരയിളക്കം!

പ്രകാശന്റെ മകന്‍ അരുണ്‍ ആ വിലപിടിച്ച അലൂമിനിയപ്പാത്രം കഴുകി ഷോകേസില്‍ വെച്ചതെന്തിനെന്നുള്ള പ്രകാശന്റെ ചോദ്യത്തിന്, 'വയസ്സാകുമ്പോള്‍ അച്ഛന് കഞ്ഞിതരണ്ടായോ..?'യെന്ന അവന്റെ നിഷ്കളങ്കമായ മറുചോദ്യത്തോടെ കഥയവസാനിപ്പിക്കുമ്പോഴേക്കും ബെല്ലടിച്ചിരുന്നു.

സാധാരണ ബെല്ലടിക്കുമ്പോഴേക്കും ആരവങ്ങളോടെ പുറത്തേക്കുചാടുമായിരുന്ന കുട്ടികളാരും അനങ്ങുന്നില്ല. കഥ ഏറ്റിരിക്കുന്നു! പോകുന്നതിനു മുന്‍പായി, ആരുടെയൊക്കെ വീട്ടില്‍ അപ്പൂപ്പനോ അമ്മൂമ്മയോ ഉണ്ടെന്നുള്ള ചോദ്യത്തിനുത്തരമായി പത്തുപതിനഞ്ചു പേരോളം എഴുന്നേറ്റു നിന്നു.പ്രായമേറുന്തോറും അവര്‍ കൊച്ചുകുട്ടികളെപ്പോലെയാകുമെന്നും, വീട്ടില്‍ ചെന്നാല്‍ ആദ്യം തന്നെ അവരെയൊന്ന് ആശ്ലേഷിക്കാനും കൊഞ്ചിക്കാനുമുണര്‍ത്തിക്കൊണ്ടാണ് സ്റ്റാഫ് റൂമിലേക്ക് നടന്നത്.

പീറ്റേ ദിവസം ക്ലാസ്സില്‍ ചെന്നപാടേ ശ്രദ്ധിച്ചത്, സ്ഥിരം മിണ്ടാപ്പൂച്ചയായ നീതുമോളുടെ മുഖത്തെ അരുണിമയാണ്. അവള്‍ക്കെന്തോ പറയണമെന്നുണ്ടെന്ന് മുഖലക്ഷണത്തില്‍ നിന്നും മനസ്സിലാക്കിയ എന്റെ പ്രോത്സാഹനം ഫലിച്ചു.
അഭിമാനത്താല്‍ തലയുയര്‍ത്തി അവള്‍ പറഞ്ഞൊപ്പിച്ചു. "ഇന്നലെ ഞാന്‍ എന്റെ അമ്മൂമ്മയ്ക് പൊട്ടുകുത്തിക്കൊടുത്തല്ലോ......!"

ഒരു എട്ടാം ക്ളാസ്സ് ചോദ്യ പേപ്പര്‍ !

പുതിയ കുപ്പായമിട്ട് പുതുമയോടെ നമുക്കു മുന്നിലെത്തിയ എട്ടാം തരം ഗണിതശാസ്ത്ര പുസ്തകം മുന്‍കാലങ്ങളില്‍ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ ഒരു അവതരണരീതിയായിട്ടാണ് നമുക്ക് മുന്നിലെത്തിയത്. കാര്‍ട്ടൂണ്‍ ചിത്രങ്ങളും സൈഡ് ബോക്സില്‍ അധിക വിവരങ്ങളുമൊക്കെയായി എത്തിയ പാഠപുസ്തകത്തെ അടുത്തറിഞ്ഞപ്പോഴാണ് നിസ്സാരവല്കരിച്ചു കൊണ്ടുള്ള ഒരു സമീപനം വേണ്ട എന്നൊരു ഉള്‍വിളിയുണ്ടായത്. ഓണാവധി കഴിഞ്ഞു വന്നിട്ടും അംശബന്ധവും അനുപാതവും എടുത്തു തീരാതിരുന്ന അധ്യാപകര്‍ നമുക്കിടയിലുണ്ട്. ഇതൊരിക്കലും ഒരു തെറ്റല്ല. ആത്മാര്‍ത്ഥതയുടെ പരകോടിയില്‍, പറഞ്ഞിട്ടും പറഞ്ഞിട്ടും മതിയായില്ലെന്ന് തോന്നിച്ചത് അധ്യാപനം കേവലം പരീക്ഷാകേന്ദ്രീകൃതം മാത്രമല്ല എന്ന ബോധം രക്തത്തില്‍ അലിഞ്ഞു ചേര്‍ന്നതു കൊണ്ടു മാത്രം. ഇവിടെ അവര്‍ അഭിനന്ദനമര്‍ഹിക്കുന്നു.


എന്നാല്‍ വിദ്യാഭ്യാസത്തില്‍ പരീക്ഷകള്‍ക്കു പ്രാധാന്യമില്ലേ? തീര്‍ച്ചയായും കുട്ടിയെ വിലയിരുത്താനുള്ള എളുപ്പവഴിയായിത്തന്നെ, ഒരു വന്‍മതില്‍ പോലെ ഇന്നും പരീക്ഷകള്‍ നിലകൊള്ളുന്നു. എല്ലാവരുടേയും മനസ്സിലെ ഒരാശങ്കയാണ് എപ്രകാരമായിരിക്കും പുതിയ ചോദ്യപേപ്പറിന്റെ വരവെന്നത്. അതു കൊണ്ട് തന്നെയാണ് ഇന്ന് ബ്ലോഗ് ടീമിന്റെ ഭാഗമായി മാറിയ വരാപ്പുഴ എച്ച്.ഐ.ബി.എച്ച്.എസിലെ അധ്യാപകനായ ജോണ്‍ സാറിനെക്കൊണ്ട് ഒരു ചോദ്യ പേപ്പര്‍ തയ്യാറാക്കിച്ചത്. സംസ്ഥാന സിലബസില്‍ നിരവധി ചോദ്യപേപ്പറുകള്‍ ഒരുക്കുന്നതില്‍ ശ്രദ്ധേയമായ പങ്ക് വഹിച്ചിട്ടുള്ളയാളാണ് ചോദ്യകര്‍ത്താവ്. അദ്ദേഹത്തിന് നന്ദി പറയുന്നതോടൊപ്പം ഈ ചോദ്യ പേപ്പര്‍ വായിച്ചു നോക്കി അഭിപ്രായങ്ങള്‍ നല്‍കിയ കോഴിക്കോട് കുളത്തുവയലിലെ വി.ടി തോമസ് സാര്‍, തൃശൂര്‍ ജില്ലയില്‍ പെരിങ്ങോട്ടുകരയിലെ അധ്യാപികയായ ഭാമ രാജന്‍, വടകരയിലെ എന്‍.എം വിജയന്‍ സാര്‍, തിരുവനന്തപുരത്തെ നസീര്‍ സാര്‍ എന്നിവര്‍ക്കും മനസ്സു തുറന്ന് നന്ദി പറയട്ടെ.


മുന്‍കൂറായി ഒരു ജാമ്യം എടുത്തു കൊള്ളട്ടെ. ഇത്തരത്തില്‍ത്തന്നെയായിരിക്കും എട്ടാം ക്ലാസിലെ അര്‍ദ്ധവാര്‍ഷിക പരീക്ഷയില്‍ ചോദ്യം വരികയെന്ന് ഒരു ധാരണ ഒരിക്കലും ഉള്ളില്‍ വെക്കരുതേ. ഒരുപക്ഷേ ഇതുമായ ബന്ധമില്ലാത്ത വിധത്തില്‍ ഇതിനോട് ഒട്ടും ബന്ധമില്ലാത്ത തരത്തിലായിരിക്കാം യഥാര്‍ത്ഥ പരീക്ഷാ പേപ്പര്‍. ഈ ചോദ്യ പേപ്പര്‍ ജോണ്‍ സാറിന്റെ സങ്കല്പത്തിലുള്ള ഒന്നു മാത്രമാണ്. ഇതെന്തെങ്കിലും തരത്തില്‍ നിങ്ങള്‍ക്ക് ഉപകാരപ്പെട്ടുവെങ്കില്‍ അറിയിക്കുക. നമ്മുടെ ആശങ്കകളെപ്പറ്റി, പ്രതീക്ഷകളെപ്പറ്റിയെല്ലാം കമന്റ് ചെയ്യാം. എന്തായാലും ഗണിതശാസ്ത്രവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പാഠപുസ്തക ശില്പശാലയിലും ചോദ്യപേപ്പര്‍ നിര്‍മ്മാണത്തിലുമൊക്കെ പങ്കെടുക്കുന്ന കുറേ പേരെങ്കിലും നമ്മുടെ ബ്ലോഗിന്റെ നിത്യ സന്ദര്‍ശകരാണ്. അവരെല്ലാം നമ്മുടെ കമന്റുകളെ, അഭിപ്രായങ്ങളെ അനുഭാവ പൂര്‍വ്വം പരിഗണിക്കുമെന്നതില്‍ സംശയമേ വേണ്ട. അതു കൊണ്ട് അഭിപ്രായങ്ങള്‍ വരട്ടെ.



Click here to download the Std VIII Maths Question Paper

തൂക്കക്കട്ടികള്‍ ! 'Weights'!

തിരുവോണം കഴിഞ്ഞ് ആഴ്ചകള്‍ പിന്നിട്ടിട്ടും, സദ്യയുടെ രുചി നാവില്‍ നിന്ന് ഇതുവരെ വിട്ടു പോയതേയില്ല. കറികളുടെ നിറവും രസവുമെല്ലാം ആസ്വദനീയം തന്നെയായിരുന്നു. അമ്മാവന്‍ അപര്‍ണ്ണയോട് ചോദിച്ചു.

"അപ്പോള്‍ സദ്യയിലുമുണ്ട് ഗണിതം എന്നു മനസ്സിലായില്ലേ?"

"സദ്യയിലും ഗണിതമോ?" അപര്‍ണ അമ്പരന്നു.

"അതെ, ആ കറികളില്‍ കുറച്ച് ഉപ്പോ മുളകോ കൂടിയിരുന്നെങ്കിലോ? ഇതേ അപര്‍ണക്കുട്ടി തന്നെ പറഞ്ഞാനേ സദ്യ ഒന്നിനും കൊള്ളില്ലായിരുന്നെന്ന്. ശരിയല്ലേ?"

"അതേ, അതിന് ഗണിതവുമായുള്ള ബന്ധം........?"

"ഉണ്ടല്ലോ. അവിടെ ഉപ്പ്, മുളക് തുടങ്ങിയ എല്ലാ ചേരുവകളുടേയും അംശബന്ധം കൃത്യമായി പാലിച്ചിരിക്കണം. അംശബന്ധം കൃത്യമായാല്‍ രുചി അസ്സലായി എന്നു പറയാം. ഇല്ലെങ്കിലോ?"


"ശരിയാ.. അപ്പോള്‍ എ​ല്ലാത്തിലും ഗണിതബന്ധമുണ്ടെന്ന് പറഞ്ഞത് വാസ്തവം തന്നെ."

"അതെ. ഗണിതത്തോട് താല്പര്യമില്ല എന്ന് ആരു പറഞ്ഞാലും അവരറിയാതെ ഗണിതം നിത്യജീവിതത്തില്‍ ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നുണ്ടല്ലോ. ഒരു വീടുപണിയുടെ കാര്യം തന്നെ നോക്കൂ. അതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഏതു ജോലിക്കാരായാലും ഗണിതത്തിന്റെ സഹായമില്ലാതെ അവര്‍ക്ക് ജോലി ചെയ്യാനാകില്ല? ബസ്സിലെ തൊഴിലാളിയായാലും ഉദ്യോഗസ്ഥരായാലും കച്ചവടക്കാരനായാലും ഒക്കെ ജോലിയുടെ ഭാഗമായി അറിഞ്ഞോ അറിയാതെയോ ഗണിതപ്രയോഗങ്ങള്‍ നടത്തേണ്ടി വരുന്നുണ്ട്. "

"അമ്മാവാ, കച്ചവടത്തിന്റെ കാര്യം പറഞ്ഞപ്പോഴാണ് ഇന്നലെ അച്ഛന്‍ ചോദിച്ച ഒരു ചോദ്യം ഓര്‍മ്മ വന്നത്. ഉത്തരം കിട്ടിയില്ലമ്മാവാ. എന്നെയൊന്നു സഹായിക്കുമോ?"

"ശ്രമിക്കാം. ആട്ടെ, എന്താ ചോദ്യം?"


"അച്ഛന്‍ മാര്‍ക്കറ്റില്‍ പോയപ്പോള്‍ ഒരത്ഭുതം കണ്ടത്രേ, അവിടത്തെ ശര്‍ക്കരക്കടയില്‍ വെറും ആറു കട്ടികളും ഒരു തുലാസും മാത്രമേയുള്ളു. അരക്കിലോ മുക്കാക്കിലോ വില്പനയില്ല. ആകെ 1 കിലോഗ്രാം, 2 കിലോഗ്രാം, 3കിലോഗ്രാം ഇങ്ങനെ ഒരു കിലോ മുതല്‍ 364 കിലോ വരെയുള്ള എത്ര കിലോഗ്രാം ശര്‍ക്കര വേണമെങ്കിലും ഈ കട്ടികള്‍ മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് അയാള്‍ തൂക്കിക്കൊടുക്കും. പക്ഷെ ആ കട്ടികള്‍ ഏതാണെന്ന് അച്ഛന്‍ ശ്രദ്ധിച്ചില്ലാത്രേ.

ഞാനെത്ര ആലോചിച്ചിട്ടും എനിക്ക് ആ കട്ടികള്‍ ഏതെല്ലാമാണെന്ന് പിടി കിട്ടിയില്ല. എനിക്കാ കട്ടികള്‍ ഏതെല്ലാമാണെന്ന് ഒന്നു പറഞ്ഞു തരാമോ?"

"അപര്‍ണക്കുട്ടീ, രണ്ടു ദിവസത്തിനുള്ളില്‍ ഞാനതിന്റെ ഉത്തരം പറഞ്ഞു തരാം. തല്‍ക്കാലം മോള്‍​ടെ കൂട്ടുകാരോടു കൂടി ഈ ചോദ്യം ഒന്നു ചോദിക്ക്. ആരെല്ലാം ഉത്തരം കണ്ടു പിടിക്കുന്നുവെന്നു നോക്കാം"

ത്രികോണവും സമചതുരവും -വര്‍ക്ക് ഷീറ്റ്

എട്ടാം ക്ലാസ് ഗണിതശാസ്ത്ര പാഠപുസ്തകത്തിലെ ത്രികോണങ്ങളുടെ സര്‍വസമത, അംശബന്ധവും അനുപാതവും എന്നീ പാഠഭാഗങ്ങളെ ആധാരമാക്കി ആഗസ്റ്റ് 26 ന് ഒരു പ്രവര്‍ത്തനം നല്‍കിയിരുന്നു. ചോദ്യം ഒരിക്കല്‍ കൂടി ആവര്‍ത്തിക്കുന്നു. മുകളില്‍ നല്‍കിയിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തില്‍ ത്രികോണം PQR, സമചതുരം ABCD എന്നിവ കാണാം. ത്രികോണം PQR ന്റെ പരപ്പളവ് (വിസ്തീര്‍ണം) K ആണ്. AP=AD & BC=BQ ആണെങ്കില്‍ സമചതുരം ABCD യുടെ പരപ്പളവ് എത്രയായിരിക്കും എന്ന് കണ്ടെത്താമോ? വരാപ്പുഴയില്‍ നിന്നും പി.എ ജോണ്‍ സാറാണ് ഇത്തരമൊരു ചോദ്യം ബ്ലോഗിലേക്ക് അയച്ചു തന്നത്. ഈ ചോദ്യത്തിന് എടപ്പലം PTMYHSS ലെ ഷെമി ഷാജി, കാസര്‍കോഡ് നീലേശ്വരത്തു നിന്നും SM Edathinal ല്‍ എന്നിവര്‍ ഉത്തരങ്ങള്‍ Comment ആയി രേഖപ്പെടുത്തിയിരുന്നു. അതു കൂടാതെ നിരവധി പേര്‍ ഇ-മെയില്‍ വഴിയും ഉത്തരങ്ങള്‍ അയച്ചു തന്നു. Comment ചെയ്യുന്നവര്‍ കഴിയുമെങ്കില്‍ പേരും സ്ക്കൂളിന്റെ പേരും രേഖപ്പെടുത്താന്‍ ശ്രദ്ധിക്കുമല്ലോ.

1)മട്ടത്രികോണം PAD യില്‍ A യില്‍ നിന്ന് PD യിലേക്ക് ലംബം AE വരക്കുക.
2)Bയില്‍ നിന്ന് CQ വിലേക്ക് ലംബം BF വരക്കുക.
3)സമചതുരത്തിന്റെ AC എന്ന വികര്‍ണവും BD എന്ന വികര്‍ണവും വരക്കുക
4)ഇപ്പോള്‍ ത്രികോണം PQR 9 ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിച്ചിരിക്കും
5)ത്രികോണങ്ങള്‍ സര്‍വസമമാകുന്ന വ്യവസ്ഥകള്‍ ഉചിതമായി ഉപയോഗിച്ചു കൊണ്ട് ഈ ത്രികോണങ്ങളെല്ലാം സര്‍വസമത്രികോണങ്ങളാണെന്ന് സ്ഥാപിക്കാം.
6)9 സര്‍വസമത്രികോണങ്ങളില്‍ നാലെണ്ണം ചേര്‍ന്നാണ് സമചതുരം ഉണ്ടാകുന്നത്. എങ്കില്‍ ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവിന്റെ 9 ല്‍ 4 ഭാഗമാണ് സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ്.
7)ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് K ആയതിനാല്‍ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് 4K/9 ആയിരിക്കും.


Click here to download the worksheet

Click here for the Kig File

കോമ്പസും പ്രൊട്രാക്ടറും ഇല്ലാതെ ഒരു കോണിന്റെ സമഭാജി വരക്കുന്ന വിധം

രണ്ടു ദിവസം മുമ്പ് എട്ടാം ക്ലാസിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര പാഠപുസ്തകവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു പ്രവര്‍ത്തനം വരാപ്പുഴ HIBHS ലെ ജോണ്‍ സാര്‍ അവതരിപ്പിച്ചിരുന്നു. ശക്തമായ കമന്റുകളോ ഉത്തരങ്ങളോ ഞങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധയില്‍ പെട്ടില്ല. ചോദ്യം ഇതായിരുന്നു. അപ്പുവിന്റെ കയ്യില്‍ ഒരു കോമ്പസോ പ്രൊട്രാക്ടറോ ഇല്ല. സ്കെയില്‍ മാത്രമേ ഉള്ളു. അവനെങ്ങനെ ഒരു കോണിന്റെ സമഭാജി വരക്കും? ഉത്തരവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു പ്രസന്റേഷന്‍ ഫയലും ഉത്തരത്തിന്റെ ഒരു പി.ഡി.എഫ് ഫയലും താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു. കമന്റുകള്‍ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

Click here to download the Presentation File

Click here to download the Answer

എട്ടാം ക്ലാസുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തി മറ്റൊരു ചോദ്യം:

ചിത്രത്തില്‍ ത്രികോണം PQR കാണാം. അതിനകത്ത് ABCD എന്ന ഒരു സമചതുരവുമുണ്ട്. ഇവിടെ AP = AD & BQ=BC യും ത്രികോണം PQR ന്റെ വിസ്തീര്‍ണം K യും ആണ്. എട്ടാം ക്ലാസ് ഗണിത ശാസ്ത്രപുസ്തകത്തിലെ ത്രികോണങ്ങളുടെ സര്‍വ്വസമത, അംശബന്ധവും അനുപാതവും എന്നീ പാഠഭാഗങ്ങളെ ആധാരമാക്കി സമചതുരം ABCD യുടെ വിസ്തീര്‍ണം എന്തായിരിക്കും എന്ന് കണ്ടെത്താമോ?

ചോദ്യം നല്‍കിയിരിക്കുന്നത്. : വരാപ്പുഴ HIBHS ലെ പി.എ ജോണ്‍ സാര്‍
ഉത്തരങ്ങള്‍ കമന്റു ചെയ്യാനും മെയില്‍ ചെയ്യാനുമുള്ള അവസാന തീയതി ജൂലായ് 31 വരെ
mail id : mathsekm@gmail.com

കോമ്പസും പ്രൊട്രാക്ടറും ഇല്ലാതെ ഒരു കോണിന്റെ സമഭാജി വരക്കുന്ന വിധം

രണ്ടു ദിവസം മുമ്പ് എട്ടാം ക്ലാസിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര പാഠപുസ്തകവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു പ്രവര്‍ത്തനം വരാപ്പുഴ HIBHS ലെ ജോണ്‍ സാര്‍ അവതരിപ്പിച്ചിരുന്നു. ശക്തമായ കമന്റുകളോ ഉത്തരങ്ങളോ ഞങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധയില്‍ പെട്ടില്ല. ചോദ്യം ഇതായിരുന്നു. അപ്പുവിന്റെ കയ്യില്‍ ഒരു കോമ്പസോ പ്രൊട്രാക്ടറോ ഇല്ല. സ്കെയില്‍ മാത്രമേ ഉള്ളു. അവനെങ്ങനെ ഒരു കോണിന്റെ സമഭാജി വരക്കും? ഉത്തരവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു പ്രസന്റേഷന്‍ ഫയലും ഉത്തരത്തിന്റെ ഒരു പി.ഡി.എഫ് ഫയലും താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു. കമന്റുകള്‍ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

Click here to download the Presentation File

Click here to download the Answer

എട്ടാം ക്ലാസുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തി മറ്റൊരു ചോദ്യം:

ചിത്രത്തില്‍ ത്രികോണം PQR കാണാം. അതിനകത്ത് ABCD എന്ന ഒരു സമചതുരവുമുണ്ട്. ഇവിടെ AP = AD യും ത്രികോണം PQR ന്റെ വിസ്തീര്‍ണം K യും ആണ്. എട്ടാം ക്ലാസ് ഗണിത ശാസ്ത്രപുസ്തകത്തിലെ ത്രികോണങ്ങളുടെ സര്‍വ്വസമത, അംശബന്ധവും അനുപാതവും എന്നീ പാഠഭാഗങ്ങളെ ആധാരമാക്കി സമചതുരം ABCD യുടെ വിസ്തീര്‍ണം എന്തായിരിക്കും എന്ന് കണ്ടെത്താമോ?

ചോദ്യം നല്‍കിയിരിക്കുന്നത്. : വരാപ്പുഴ HIBHS ലെ പി.എ ജോണ്‍ സാര്‍
ഉത്തരങ്ങള്‍ കമന്റു ചെയ്യാനും മെയില്‍ ചെയ്യാനുമുള്ള അവസാന തീയതി ജൂലായ് 31 വരെ
mail id : mathsekm@gmail.com

എട്ടാം ക്ലാസ് ഗണിതശാസ്ത്ര അദ്ധ്യാപകസഹായിയിലെ ഒരു സംശയം

എറണാകുളം സെന്റ് ജോസഫിലെ ഗണിത ശാസ്ത്ര അദ്ധ്യാപികയായ അന്നാമ്മ ടീച്ചര്‍ ഇന്നലെ ഞങ്ങളെ ഫോണില്‍ കോണ്‍ടാക്ട് ചെയ്തിരുന്നു. ടീച്ചര്‍ ഒരു സംശയവുമായിട്ടായിരുന്നു വിളിച്ചത്.
എട്ടാം ക്ലാസിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര അദ്ധ്യാപക സഹായി പേജ് 75 ല്‍ (ന്യൂനസംഖ്യകള്‍) 7-ാമത്തെ വരി മുതലാണ് ടീച്ചര്‍ക്ക് സംശയം. അവിടെ ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

“ഈ രീതിയില്‍ പല ഗണിതാശയങ്ങള്‍ക്കും നമുക്ക് അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിക്കേണ്ടി വരാറുണ്ട്. സാങ്കേതികമായി പറഞ്ഞാല്‍, ഈ അര്‍ത്ഥ കല്പനകള്‍ തന്നെയാണ് അത്തരം ആശയങ്ങളുടെ നിര്‍വചനം
ഉദാഹരണമായി, 0 X x = 0, 0!=1. ”

ഇത് ശരിയാണോയെന്നും ഇവിടെ എന്തെങ്കിലും പിശകുണ്ടോയെന്നും ഈ ഭാഗത്ത് ഇത്തരമൊരു ഫാക്ടോറിയലിന്റെ ആവശ്യമുണ്ടോയെന്നുമെല്ലാമാണ് ടീച്ചര്‍ ചോദിക്കുന്നത്. ടീച്ചര്‍ പലരോടും ഈ സംശയം ചോദിച്ചിട്ടും ആരില്‍ നിന്നും വ്യക്തമായ ഒരു മറുപടി കിട്ടിയില്ലായെന്നാണ് ഖേദപൂര്‍വ്വം പറയുന്നത്. ഇതിന് ആര്‍ക്കെങ്കിലും വ്യക്തമായ ഒരു മറുപടി നല്‍കാനുണ്ടെങ്കില്‍ മലയാളത്തിലോ മംഗ്ലീഷിലോ ഇംഗ്ലീഷിലോ Comment ചെയ്യുകയോ mathsekm@gmail.com എന്ന വിലാസത്തിലേക്ക് മെയില്‍ ചെയ്യുകയോ ചെയ്യുക. Solution ലഭിച്ചാല്‍ രണ്ടു ദിവസത്തിനകം ഈ പ്രശ്നത്തിനുള്ള മറുപടി അയച്ചു തന്നവരുടെ പേര് സഹിതം ഈ ബ്ലോഗില്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കും.

മറുപടി
1 മുതല്‍ n വരെയുള്ള എല്ലാ എണ്ണല്‍സംഖ്യ കളുടേയും ഗുണനഫലമാണ് n! എങ്കില്‍
1! = 1*1 = 1
2! = 1*2 = 2
3! = 1*2*3 = 6
4! = 1*2*3*4 = 24
...
n! = 1*2*3*...*(n-2)*(n-1)*n
അങ്ങിനെ പോകുന്നു.....
n! നെ n*(n-1)! എന്നെഴുതാമല്ലോ?

അതുകൊണ്ട് n=1 ആകുമ്പോള്‍, n! = n*(n-1)! എന്നത്
1! = 1*0!
അതായത് 1 = 0!

അജീഷ്

എട്ടാം ക്ലാസ് ഗണിതശാസ്ത്ര അദ്ധ്യാപകസഹായിയിലെ ഒരു സംശയം

എറണാകുളം സെന്റ് ജോസഫിലെ ഗണിത ശാസ്ത്ര അദ്ധ്യാപികയായ അന്നാമ്മ ടീച്ചര്‍ ഇന്നലെ ഞങ്ങളെ ഫോണില്‍ കോണ്‍ടാക്ട് ചെയ്തിരുന്നു. ടീച്ചര്‍ ഒരു സംശയവുമായിട്ടായിരുന്നു വിളിച്ചത്.
എട്ടാം ക്ലാസിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര അദ്ധ്യാപക സഹായി പേജ് 75 ല്‍ (ന്യൂനസംഖ്യകള്‍) 7-ാമത്തെ വരി മുതലാണ് ടീച്ചര്‍ക്ക് സംശയം. അവിടെ ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

“ഈ രീതിയില്‍ പല ഗണിതാശയങ്ങള്‍ക്കും നമുക്ക് അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിക്കേണ്ടി വരാറുണ്ട്. സാങ്കേതികമായി പറഞ്ഞാല്‍, ഈ അര്‍ത്ഥ കല്പനകള്‍ തന്നെയാണ് അത്തരം ആശയങ്ങളുടെ നിര്‍വചനം
ഉദാഹരണമായി, 0 X x = 0, 0!=1. ”

ഇത് ശരിയാണോയെന്നും ഇവിടെ എന്തെങ്കിലും പിശകുണ്ടോയെന്നും ഈ ഭാഗത്ത് ഇത്തരമൊരു ഫാക്ടോറിയലിന്റെ ആവശ്യമുണ്ടോയെന്നുമെല്ലാമാണ് ടീച്ചര്‍ ചോദിക്കുന്നത്. ടീച്ചര്‍ പലരോടും ഈ സംശയം ചോദിച്ചിട്ടും ആരില്‍ നിന്നും വ്യക്തമായ ഒരു മറുപടി കിട്ടിയില്ലായെന്നാണ് ഖേദപൂര്‍വ്വം പറയുന്നത്. ഇതിന് ആര്‍ക്കെങ്കിലും വ്യക്തമായ ഒരു മറുപടി നല്‍കാനുണ്ടെങ്കില്‍ മലയാളത്തിലോ മംഗ്ലീഷിലോ ഇംഗ്ലീഷിലോ Comment ചെയ്യുകയോ mathsekm@gmail.com എന്ന വിലാസത്തിലേക്ക് മെയില്‍ ചെയ്യുകയോ ചെയ്യുക. Solution ലഭിച്ചാല്‍ രണ്ടു ദിവസത്തിനകം ഈ പ്രശ്നത്തിനുള്ള മറുപടി അയച്ചു തന്നവരുടെ പേര് സഹിതം ഈ ബ്ലോഗില്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കും.

മറുപടി
1 മുതല്‍ n വരെയുള്ള എല്ലാ എണ്ണല്‍സംഖ്യ കളുടേയും ഗുണനഫലമാണ് n! എങ്കില്‍
1! = 1*1 = 1
2! = 1*2 = 2
3! = 1*2*3 = 6
4! = 1*2*3*4 = 24
...
n! = 1*2*3*...*(n-2)*(n-1)*n
അങ്ങിനെ പോകുന്നു.....
n! നെ n*(n-1)! എന്നെഴുതാമല്ലോ?

അതുകൊണ്ട് n=1 ആകുമ്പോള്‍, n! = n*(n-1)! എന്നത്
1! = 1*0!
അതായത് 1 = 0!

അജീഷ്

ഒരു കോണിനെ സ്കെയിലും കോമ്പസും ഉപയോഗിച്ച് 3 സമഭാഗങ്ങളാക്കാമോ?

പ്രിയപ്പെട്ട കുട്ടികളേ, ഇതാ നിങ്ങള്‍ക്കൊരു അസൈന്‍മെന്റ്.. ഒരു കോണിനെ സ്കെയിലും കോമ്പസ്സും മാത്രം ഉപയോഗിച്ചു കൊണ്ട് രണ്ട് തുല്യഭാഗങ്ങളാക്കി മാറ്റാന്‍ ഇപ്പോഴത്തെ പത്താം ക്ലാസ് പാഠപുസ്തകത്തിലും പുതിയ എട്ടാം ക്ലാസ് പാഠപുസ്തകത്തിലുമൊക്കെ നിങ്ങള്‍ പഠിക്കുന്നുണ്ട്. എന്നാല്‍ നമ്മുടെ അസൈന്‍മെന്റ് അതല്ല. തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു കോണിനെ സ്കെയിലും കോമ്പസ്സും മാത്രം ഉപയോഗിച്ചു കൊണ്ട് 3 തുല്യഭാഗങ്ങാക്കി മാറ്റണം. ഉദാഹരണത്തിന് നിങ്ങള്‍ക്ക് തന്നിരിക്കുന്നത് 72 ഡിഗ്രി കോണാണെങ്കില്‍ നിങ്ങളതിനെ 24 ഡിഗ്രി വീതമുള്ള 3 സമഭാഗങ്ങളാക്കി മാറ്റണം. നിങ്ങള്‍ക്കൊരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാകാനുള്ള അവസരമാണ് ഈ ബ്ലോഗിലൂടെ ഞങ്ങളൊരുക്കുന്നത്. എന്താണെന്നറിയേണ്ടേ? അതിനായി Comments ല്‍ നോക്കുക

Mathematics Texbook & Quiz

കുറച്ചു കൂടി ക്ലിയര്‍ ആയ എട്ടാം ക്ലാസിലെ ഗണിതശാസ്ത്രപുസ്തകം ഒന്നാം പാഠത്തിന്റെ സ്കാന്‍ ചെയ്ത കോപ്പി ഇതോടൊപ്പം കൊടുക്കുന്നു.

Click here to Download the Standard VIII Mathematics Book (Malayalam)

കവളങ്ങാട് സെന്റ്ജോണ്സ് എച്ച്.എസ്.എസിലെ സിജു കാക്കനാട്ട് സാര്‍ Standard VIII Mathematics ഇംഗ്ലീഷ് പുസ്തകത്തിന് വേണ്ടി ആവശ്യപ്പെട്ടിരുന്നുവല്ലോ. ധാരാളം അന്വേഷിച്ചുവെങ്കിലും ഒരു രക്ഷയും കിട്ടിയില്ല. സാദരം ക്ഷമിക്കുക. കിട്ടിയാലുടന്‍ പബ്ളിഷ് ചെയ്യാം.

ഒറിജിനല്‍ ടെക്സറ്റ് പുസ്തകം സംഘടിപ്പിക്കുന്നതിനും ഇംഗ്ലീഷ് വേര്‍ഷന്‍ അന്വേഷിക്കുന്നതിനും സ്തുത്യര്‍ഹമായ വിധത്തില്‍ ഞങ്ങളോട് സഹകരിച്ചതിന് എറണാകുളത്തെ IT@School മാസ്റ്റര്‍ ട്രെയിനറായ ശ്രീ. ജയദേവന്‍ സാറിന് ഈ അവസരത്തില്‍ അകൈതവമായ നന്ദി രേഖപ്പെടുത്തിക്കൊള്ളട്ടെ



Mathematics Quiz ഒന്നു അറ്റംപ്റ്റ് ചെയ്തു നോക്കൂ.

Click here for Mathematics Quiz

എട്ടാം ക്ലാസ് പാഠപുസ്തകം

പ്രിയ അദ്ധ്യാപകരേ,
എട്ടാം ക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകത്തിന്റെ പി.ഡി.എഫ് കോപ്പി ആവശ്യപ്പെട്ടുകൊണ്ട് ധാരാളം പേര്‍ വിളിച്ചിരുന്നു. പക്ഷേ അതിനു വേണ്ടി പലരേയും സമീപിച്ചെങ്കിലും ആരില്‍ നിന്നും അതു ലഭിക്കുകയുണ്ടായില്ല. അതു കൊണ്ട് ഒരു ഫോട്ടോസ്റ്റാറ്റ് കോപ്പിയുടെ പി.ഡി.എഫ് ഇമേജ് ഇതോടൊപ്പം കൊടുത്തിട്ടുണ്ട്. തൃപ്തിപ്പെടുക. തൊട്ടടുത്ത ദിവസം തന്നെ ടെക്സ്റ്റ് ബുക്കില്‍ നിന്നും നേരിട്ട് സ്കാന്‍ ചെയ്യാന്‍ ഞങ്ങള്‍ ശ്രമിക്കാം. ഈ പിഡിഎഫ് കോപ്പിയില്‍ പേജുകള്‍ മറിഞ്ഞു പോയിട്ടുണ്ടോ എന്നൊരു സംശയവുമുണ്ട്. എത്രയും പെട്ടന്ന് ആവശ്യക്കാരിലേക്ക് ഇതെങ്കിലും എത്തിക്കാനായിരുന്നു ഞങ്ങളുടെ ശ്രമം. കുറവുകളില്‍ പരിഭവിക്കരുതേ...

ആരുടെയെങ്കിലും കൈവശം കുറച്ചു കൂടി ക്ലിയര്‍ ആയ പി.ഡി.എഫ് കോപ്പി ഉണ്ടെങ്കില്‍ അത് ഈ ബ്ലോഗില്‍ അത് പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നതാണ്. മെയില്‍ ചെയ്യേണ്ട വിലാസം mathsekm@gmail.com

To download the Kerala State VIII Standard Mathematics Textbook
Click here

പുതിയ പാഠപുസ്തകത്തെപ്പറ്റി

ലോകാരംഭം മുതല്‍ക്കേ അനവരതം തുടരുന്ന ഒരു പ്രതിഭാസമാണ് മാറ്റം. പ്രാകൃത മനുഷ്യനില്‍ നിന്നും ആധുനിക മനുഷ്യനിലേക്കുള്ള വികാസം തന്നെ ഈ പ്രതിഭാസത്തിന്റെ പരിണിതഫലമാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. ഉരുളന്‍ തടികളില്‍ നിന്നും വൃത്താകൃതിയിലുള്ള നേര്‍ത്ത മരച്ചക്രങ്ങളിലേക്കുള്ള ചക്രത്തിന്റെ മാറ്റം അവന്റെ പ്രയാണത്തിന് വേഗത കൂട്ടി. ജീവിതത്തിന്റെ നാനാമേഖലകളിലും അനുദിനം സംഭവിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന മാറ്റമാണ് ആധുനിക കാലഘട്ടത്തിന്റെ ജീവനാഡി.
മറ്റേതു മേഖലകളിലുമെന്ന പോലെ വിദ്യാഭ്യാസ രംഗത്തും ഈ മാറ്റം പ്രകടമാണ്. വിദ്യാര്‍ത്തിയുമായി നമ്മുടെ മുന്നിലിരിക്കുന്ന വിദ്യാര്‍ത്ഥികളുടെ ബൗദ്ധിക പരിണാമം ഏത് ഗുരുവാണ് കൊതിക്കാത്തത്? പുതിയ എട്ടാം ക്ലാസ് പാഠപുസ്തകം പരിചയപ്പെട്ടു കാണുമല്ലോ. എന്താണ് അഭിപ്രായം? കാലാകാലങ്ങളായി അദ്ധ്യാപകലോകം മുറവിളി കൂട്ടുന്ന അവതരണരീതിയിലെ വഴക്കം ഈ പാഠപുസ്തകത്തില്‍ കാണാനാകുന്നുണ്ടോ? കുട്ടിക്ക് അവന്റെ സര്‍വ്വതോന്മുഖമായ വളര്‍ച്ചയ്ക്ക് ഈ പുസ്തകം വഴികാട്ടിയാകുമോ ? അദ്ധ്യാപകന് താന്‍ നയിക്കുന്ന വഴിയിലൂടെ കുട്ടിയെ നടത്താനും എളുപ്പത്തില്‍ അവനെ ലക്ഷ്യപ്രാപ്തിയിലെത്തിക്കാനും കഴിയുമോ? പാഠപുസ്തക രചയിതാക്കള്‍ എന്തെങ്കിലും വിസ്മരിച്ചിട്ടുണ്ടോ?
ശക്തവും ഗുണകരവുമായ ഒരു ചര്‍ച്ച പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.